И здан и е второе, стереотипное

< > 0
и если и (х , 
не т о л ь к о в метрике
1
а (
2
), но и равномерно.
Т е о р е м а
20.6.1. 
Обобщенное 
решение 
смешанной
задачи для уравнения теплопроводности единственно.
П усть су щ еств у ю т две функции, удовл етворяю щ ие т о ж ­
д еств у (7 ) и начальному условию (
6
). И х разность, к о т о р у ю
мы обозначим через w (t), удовлетворяет тож д еств у
{т
с  
0
и начальному условию
f w\
=
0
. 
(9 )
' 
* 
|/-=о
Положив в тож дестве (
8
) i] = w  и воспол ьзовавш ись ф о р ­
мулой (5.1), получим
® | w (
0
P +
2
| w P =
0
.
О тсю да видно, что 
w (t
) f < 0 и, следовательно, числовая
функция Ц ®(0|* не возрастает при возрастании t  Н о по 
соотнош ению (9 ) || w  (0 ) |f = 0. О тсю да || w  ( / ) f = 0, t 
0, и 
теорема доказана.

---

§ 1. Понятие о волновом уравнении
Волновым 
уравнением
называется 
уравнение 
в т о р о го
порядка вида
~3? ~~ AJh
^ dxjdxk “ Ь Ак 
+ А° 
0
й = 1 (х, t), (
1
)
в к о т о р о м матрица коэффициентов Ajk полож ительно опре­
деленная. Матрица старш их коэффициентов уравнения (
1
) 
имеет вид
■^11
---- 
А
12
...
1
:ь
.
3
0
A j,
—
А&
. .
.
— А
т
0
^ ml
^ mi
• • •
_
__ 
А
л 1ЛЯ 0
0
0
0
1
О дно из характеристических чисел матрицы (2 ) равно еди­
нице, остальны е совпадаю т с характеристическими числами 
матрицы — I А )Ь || и, следовательно, отрицательны. О тсю да 
следует, 
что 
в ол н овое 
уравнение 
принадлежит 
к 
типу 
(/и, 
1
, 
0
), т. е. к ги перболическом у типу.
Уравнение характеристик в ол н ов ого уравнения имеет вид
/ д<о\а 
, 
ди>
(9<о 
[ d t
) ~ Jhl x ) d x l
Уравнение (
1
), 
как и всякое 
гиперболическое 
уравнение, 
имеет и вещ ественны е характеристики. Заметим, что функция 
/ ) = / не удовл етворяет уравнению (3), п оэтом у пло­
ск о сти t = co n st не являются характеристическими п оверх-

---

ностями вол нового уравнения, и при t =  co n st мож но зада­
вать о б а данных Коши.
М ы будем рассматривать ниже менее о б щ е е волновое 
уравнение
1 Р ~ д 7 , { Ajk d x l
) = ^ х ' ^
^
С физической точки зрения уравнение (4 ) описы вает малые 
колебания среды под действием непрерывно распределенных 
источников, интенсивчость к о т о р ы х пропорциональна вели­
чине f ( x , t). В общем случае колеблющ аяся среда неодно­
родна и неизотропна и ее ф изические свойства меняются 
с течением времени. Если свойства среды неизменны во вр е­
мени, т о коэффициенты A jk не зависят о т t, — эт от случай 
мы и будем далее рассматривать.
Если среда одн ородна, 
т о Ajh =  const; в этом случае подходящ им аффинным пре­
образованием координат д-,, 
........... х т мож но п р еобр а зо­
вать матрицу || Л,-*, I в единичную. Мы приходим тогда к п р о­
стейш ей форме волнового уравнения
g * — Д U = f { x , t ) .  
(5 )
Для физических приложений больш ой интерес п редста­
вляет несколько более слож ное уравнение
~ — сРЬи = f { x , t), а4 =
const. 
(
6
)
Заметим, 
что уравнение 
(
6
) 
прммет 
ф ор м у 
(5), если 
изменить 
единицу времени, 
именно, 
если 
сделать замену 
? — at.
Как уж е было сказано, мы примем, что в уравнении (4 ) 
коэффициенты Лу* не зависят о т времени; мы предположим 
также, что эти коэффициенты непреры вно дифференцируемы 
и что матрица ||Д/*|| не вырождается.
§ 2. Смешанная задача и ее обобщенное решение
П остановка смешанной задачи для в о л н ов ого уравнения 
весьма близка к постановке той же задачи для уравнения 
теплопроводности.
Сформулируем 
задачу 
подробнее. 
В 
п л оск ости
t — 0
(т. е. в пространстве Ет) дана конечная обл асть 12 с к у соч н о

---

гладкой границей Г. В области Q  рис. 37 (ст р . 4 2 7 ) тр е­
бу ется найти решение вол н ового уравнения
д а - 4 ( л ' * м
ж ; ) = /(лг' '»■ 
т
удовл етв ор я ю щ ее начальным условиям
4
 =