И здан и е второе, стереотипное

1
) — (
2
) совпадают.
Единственность решения задачи Коши мы исследуем для 
п ростейш его случая, когда A jk — bjk, так что эл л и п ти ческ ое 
выражение, входящ ее в уравнение теп л оп р оводн ости , превра­
щается в оператор Лапласа.
Т е о р е м а 20.4.2. Уравнение
Lu =
— Ьи = f (х , t)
(4 )
имеет в классе
С ( Е т
X [0, о о )) П С » . » (Ет X (0, о о ) )
(5 )

---

не более одного ограниченного решетя, удовлет воряющ его
условию Коши
и 
= ?(• *)
с заданной функцией
9
(jc).
Если таких решений два, то их разность w ( x , t) решает 
о д н ор од н у ю задачу Коши
Lw —
— Д® = 0, 
(
6
)
*&>
|/=о = 0 
(7 )
и принадлежит к л ассу (5). Она ограничена как разность двух 
ограниченных функций; пусть | w (х, <) I ^ М .
В п л оскости t '=? 0 (т. е. в евклидовом п р остранстве Ет) 
рассм отрим шар 
U J
r
радиуса 
R
и с центром в начале к о о р ­
динат; ограничиваю щ ую его сферу обозначим через 
S
r
.
П о ­
стр ои м цилиндрическую поверхность с образующ ими, парал­
лельными оси /, 
и 
с направляющей 
S
r
]
часть это й поверхно­
сти, на к о т о р о й t ^ >  0, обозначим через В. О б л а сть простран­
ства 
(ЛГ|, л:4, 
х т, t)
с границей 
U J
r
 
[j В
обозначим 
через Q *).
Р ассм отрим вспомогательную функцию
м * .
0
= ^ - . ( £ + / ) ,
(
8
)
Л егко видеть, что функция ^ у д о в л е т в о р я е т одн ородном у 
уравнению тепл опроводн ости. Далее
, 
2Мх2
^ „
V
r
 
н
= о =
^
0;
в силу равенства (7 )
Т 'я | * = о З г= М | /= о .
Н аконец,
V R
U =
V R
|*« =
Rt
5 s
M
^
| 
w
| |b .
П оследние два соотн ош ен и я означают, что 
Щ \шк
и в 5 * I 
w
| 
\ш
r
и 
в,
1) 
О п и с а н н о е з д е с ь п о с т р о е н и е с о о т в е т с т в у е т рис. 37 (стр. 427) 
при 
Q = 111R.

---

и ясно, что каждая из величин 
и г»#— w  на Ш ц (J В
неотрицательна. Кроме того, каждая из этих величин удовле­
творяет уравнению (
6
). Н о тогда по принципу максимума 
в замкнутой области Q T, 
в 
к о т о р о й
O ^ t ^ T ,
Т —
con st (рис. 36), как сумма v R -\ -w , 
так и разность
—
w
достигает минимума на Я / # U В, причем эти мини­
мумы неотрицательны. О тсю да сл едует, ч то
v R
- j - w ^
0
, 
v R
— w ^ s O , 
х *
/?9, 
t ^ O .
Таким образом, при 
0
выполняется неравен­
ст в о —
или, что т о же,
П роизвольно зафиксируем х  и t и устремим R -*■ о о . Из 
последнего неравенства следует тогда, ч т о |«>.(х, ОI ^
т- е - 
что w ( x , 0 = 0. Теорема доказана.
§ б. Абстрактные функции вещественной переменной
Будем говорить, что на м нож естве Е  числовой оси оп р е­
делена абстрактная функция и (О с о значениями в п р о­
странстве X , если лю бом у числу t 
Е
по н ек отор ом у закону 
приведен в соответстви е один и т о л ь к о один элемент u ( f ) £ X - 
Ниже будем предполагать, что п р о ст р а н ст в о X  банахово.
В банаховом пространстве су щ ест в у ет два типа сх о д и м о ­
сти: сильная, или сходи м ость по норме, и слабая. В со о т в е т ­
ствии с этим для абстрактных функций вещ ественной перемен­
ной можно установить понятия сильной и слабой непреры в­
ности, сильной и слабой производной и т. п. Имея в виду 
дальнейшие приложения, ограничимся рассмотрением сильной 
непрерывности 
и 
сильной 
производной; 
с л о в о
«сильн ая» 
дальше будем опускать.
Абстрактная функция u {f) непрерывна в точке t = г0, 
если
он а непрерывна на некотором м н ож естве значений t, если 
она непрерывна в каждой точке э т о г о множества.
lim | и
( 0
— и(*о)Ц =
0
;

---

Абстрактная функция u(t) имеет в точке t производную
u'(t),
если
Как обы чн о, функция, имеющая в некоторой точке произ­
водную, называется дифференцируемой в; этой точке. О че­
видно, что функция, дифференцируемая в точке, непрерывна 
в ней. Е стественным образом определяются и высшие произ­
водные абстрактной функции.
Важную 
роль 
в дальнейшем 
будет играть следующая 
формула дифференцирования скалярного произведения: если