|
t —
co n st.
(
3
)
(4 )
(
6
)
2. Коэффициенты Лу* не зависят о т t и непреры вно ди ф
ференцируемы
ПО
Х\,
JCj,
. . . . х т .
3. Эллиптическое выражение (4 ) невы рож даю щ ееся.
§
2
. Принцип м ак си м ум а
В пл оскости t = 0 (т. е. в w -мерном евклидовом п рост
ранстве Е т) рассм отрим конечную область 2 с границей Г.
П остр ои м цилиндрическую поверхность с направляющей Г и
образующ ими, параллельными, оси t; часть этой поверхности,
заключенную меж ду плоскостя
ми t — 0 и t — T, где Г — по
ложительная постоянная, о б о
значим через В
т
-
Д алее обозна
чим через
2
Т проекцию о б
ласти 2 на п л оск ость t — Т и
через Q r — обл асть простран
ства (jct, Xi..........x m, t) с гра
ницей 2 ( j 5 r l J 2 r (рис. 36).
Введем сл едую щ ее обозна
чение: если D — н ек оторое мно
ж ество в
пространстве пере
менных (Х „ х.ь . . . , х „ , /), то
О р- ч)
(£))
будет
обозначать
класс функций, к отор ы е на мно
ж естве D имеют непрерывные производные по х х, x lt . . . , х т
порядка szz.p и непреры вные производные по t порядка s g q.
Т е о р е м а
2 0
.
2
.
1
. П уст ь функция и ( х , t) принадлежит
пересечению
C ( Q )
t
П
C ° ' l){Qr U 2 г)
(1)
и удовлетворяет в Q Т однородному уравнению теплопро
водности
(1.6). Тогда как наибольшее, так и наименьшее
свое значение в замкнутой области Q T функция и (х , t)
принимает на
2 \] В Т.
Теорема
2 0
.
2.1
называется принципом максимума для
уравнения теплопроводности.
Д оста точ н о пр овести доказательство для случая максиму
ма: если функция и (дг, t), указанная в условии теоремы, в не
к о т о р о й точке д ости га ет минимума, т о в той же точке дости
гает максимума функция — и (х , t), также удовлетворяющая
условиям теоремы.
Обозначим
М
—
max
и (лг,
t),
р.—
шах
и ( х , t).
т
рг, о е з и л г
О чевидно,
Утверждение теорем ы с о ст о и т в том, что
[л. = 7И. Д опустим противное: пусть
Т огда функция
и (х , t),
непрерывная в Q T, достигает максимума в некоторой
то ч к е ( х 0, t0), которая лежит либо в Q r, либо на
2
7
-,
u(x„, t0) = M,
(х0, (а) £ Q U 2 г
П остроим вспомогательную функцию
v {х ,
0
= и {х,
0
-{- M~
2
f
' ~ (<• —
0
-
(
2
)
Если (лг,
U в т
>
т0
4> —
<С.Т
и» следовательно,
v (x >
0
! и . , )€
2
и й г < ^ + ^ ^ =
^
^
<
ж -
С другой стороны ,
■ и (^ о . 4>) =
н ( * о .
t o ) —
м .
Итак, вне 2 (J Вт есть точка, в к от ор ой функция v при
нимает значение М , тогда как на 2 |J B j значения г> с т р о г о
меньше, нежели М ■ Отсю да следует, что v ( x , t) дости га ет в
Q T
максимума в точке, принадлежащей л и бо
2
Г, либо Q г-
Обозначим через (лсц ^() точку, в к о т о р о й функция v ( x , О
достигает максимума. Допустим сперва, ч то (jfi, ^i) G Q t ‘ При
любом вы боре ортогональных осей O x i, O xit .
Ox m
в то ч к е
( j C i ,
t i )
выполняются необходимые условия максимума
^ =
0
, ^
=
0
,
А =
1
,
2
, . . . , т.
(3 )
dt
д х к
дх\
Обозначим для краткости через L дифференциальное вы
ражение в левой части уравнения теп л оп р оводн ости (
1
.
6
).
Вычислим величину Lv в точке ( j f x, ^ ):
,
___I
dv
dAJk dv_
_ .
d‘ v
1
___
Lv \ixi, tk)
^
(fjj-j fiX/j
jb dxjdxi,\{xi, it)
__
^
d*v
Jk dxjdxt,
<>.■,. f[)
Выберем такое направление координатны х осей О х„, чтобы
в точке ДГ| матрица
” ? оказалась диагональной; э т о
возмож но в силу ее симметричноеги. Н о эга матрица ещ е и
полож ительно определенная, поэтом у в выбранной си стем е
координат
Aj j ( ■ * !)> 0 ,
AJk(x i) = 0,
) Ф к,
т
Lv
Ui. fit
С д р у гой стор он ы ,
L v
= Lu
2
.
d*v
А" Ш
:
0
.
(■*». Л)
^ Л
ц и - t y .
и из пол уч ен н ого противоречия следует, что (х ^ <,) ^ Q т.
П усть теперь (лг„ tt) £= 2 Т. Э то значит, что tt = т ,х 1 £ 2 .
Т огда ty есть граничная точка интервала (0, Т), а х i — внут
ренняя точка области
2
; необходимые условия максимума
в точ к е (jC|, £t) имеют вид
dv.
ш -
dv
5x1
=
0
,
d*v
Щ
:
0
,
k =
1
,
2
, ___ tn.
П о-преж нем у
L-V
t {jft .
—
dv
dt
V i .
d*v
/ = 1
1
(■*». С д р у гой ст о р о н ы , как и выше, Lv
0; новое противоречие
показывает, ч то ( j c „ tx) ( ^
2
r.
Итак, точка (л^, ^ ), которая должна принадлежать о б ъ е
динению Q r (J 2 р не принадлежит ни Qj-, ни 2 Г. Из э т о г о
п ротиворечия следует, что допущ ение [i
М
неверно и, сл е
довател ьно, {л = М . Т еорема доказана.
Из хода доказательства ясно, что для случая максимума
о н о оста н ется в силе, если уравнение Lu = 0 заменить нера
венством Lu
0 . Справедливо п оэтом у следую щ ее усиление
принципа максимума:
Т е о р е м а 20.2.2. П уст ь функция и (х , t) принадлежит
пересечению
(1). Если Lu ^ 0 всю ду в Q, то функция
ч ( х , t) достигает максимума на
2 [J В Т. Если же Lu
5
s 0
всю ду е Q, т о на
2 (J В Т достигается минимум ф унк
ции и (х , t),
§ 3. Задача Коши и смешанная задача
I
В § 2 гл. 10 бы ло показано, что для уравнения тепл опровод
н ости можно задавать только одн о из данных Кош и, поэтому
задача Коши для уравнения теплопроводн ости (1 .5 ) ставится
так: определить решение э т о г о уравнения при л ю бом х
Е т
и лю бом t ^ > 0 , если задано значение э т о г о решения при
t
=
0
н|, =
0
= ¥(•*),
х ^ Е т.
О )
Задача Коши для уравнения теп л оп р оводн ости допускает
п р о сту ю физическую интерпретацию. П усть теплопроводящ ая
среда (в ообщ е говоря, неоднородная и неизотропная) запол
няет все пространство. Д опустим , далее, что в этой среде
распределены источники тепла интенсивности (при подходящ ем
в ы бор е единиц измерения) f ( x , t), котор ая предполагается
известной. Наконец, примем, что в
начальный момент времени нам из
вестна температура среды в лю бой
точке. Задача Коши с о с т о и т в том,
чтобы
определить
тем пературу
в
лю бой точке среды в моменты вре
мени, следующ ие за начальным.
Важную роль играю т так назы
ваемые смешанные задачи, к о т о р ы е
ф ормулируются следующ им образом .
П усть 2 — область евклидова п р о
с т р а н с т в а ^ (рис. 37), Г — ее граница
и В — цилиндрическая п овер хн ость с направляющей Г и о б р а
зующими, параллельными о си t\ точнее, за В мы примем ту
Do'stlaringiz bilan baham: |
