И здан и е второе, стереотипное

0
, 
/ =
1
,
2
, . . . ,
(2 8 )
где F j — линейные ограниченные в метрике пространства У 
функционалы. Мы не исключаем и т о т случай, когда число 
условий ортогональности равно нулю, — в этом случае н о р ­
мально разрешимая задача имеет реш ение при любом с в о б о д ­
ном члене. Мы будем говорить такж е о нормальной разреш и­
мости уравнения (2 7 ) или оператора А.
П очти все рассмотренные в предш ествую щ их главах задачи 
нормально разрешимы в соотв етств ен н о выбранных парах 
пространств: уравнения с вполне непрерывными операторами, 
задачи Д ирихле и Неймана для невы рож даю щ егося эллипти­
ч е с к о г о уравнения в конечной области; те же задачи для 
о д н о р о д н о го уравнения Лапласа в конечной или бесконечной 
области. Как выяснено в настоящем параграфе, нормально 
разреш имо уравнение (1 ) с оп ер атор ом Гильберта, если вы пол­
нено у сл о ви е (
2
).
Отметим, не проводя доказательств, что уравнение (1) не 
является нормально разрешимым, если условие (
2
) нарушено в ко­
нечном числе точек. Другой пример не нормально разрешимой 
задачи— это задача — ки — f (х), и г =
0
, в случае, когда конечная 
поверхность Г ограничивает бесконечную область Q, и задача рас­
сматривается в Ц  (Q).
П у ст ь оператор А нормально разрешим и пусть а (Л ) 
означает число линейно независимых решений од н о р о д н о го
уравнения Аи— 0, а |3(Л)— число условий ортогональности (2 8 ), 
необход и м ы х и достаточны х для разреш имости уравнения (2 7 ). 
Д опустим , что хотя бы одно из чисел а (Л ) и (3 (Л ) конечное. 
Т огда р а зн ость а (Л ) — Р(Л ) называется индексом оператора Л 
или 
соотв етств у ю щ ей
линейной 
задачи 
и 
обозначается 
через In d Л
Ind Л = а (Л ) — р (Л).
Если Т — вполне непрерывный, а / — тож дественный о п е ­
ратор, т о Ind ( / -j- 7^ = 0, — эт о вы текает из альтернативы

---

Фредгольма. В ообщ е, если для некоторой задачи имеет м есто 
альтернатива Ф редгольма, т о индекс эт о й задачи равен нулю. 
Н етр удн о убедиться, что индекс уравнения ( I ) равен х; у сл о ­
вие (
2
) предполагается выполненным. Индексы остальных пере­
численных выше нормально разрешимых задач равны нулю.