И здан и е второе, стереотипное

k = l ,
2
......... т. 
(3)
Таким образом, функции (2) суть собственные функции задачи 
Дирихле для оператора Лапласа в параллелепипеде (3); со о т ­
ветствующие собственные числа суть
Ч " * • • • " т —
e g ’ 
(4 '
ft = i *
Система (2) ортогональна в метрике /-а (2 ). где на этот ра; 
£2
— параллелепипед (3); она будет и нормированной, если 
положить
т
с = '2т12 [ “[ а - 1' 2. 
(5
*=1
Система (
2
) полна в £г (
2
), — это легко доказать, исход! 
из того, что система функций (
1
) полна в £.
2
(
0
, а), и исполь 
зуя соображения § 2 гл. 7. Отсюда следует, что формулой (2 
исчерпывается система собственных функций задачи Дирихл» 
для уравнения Лапласа в параллелепипеде.

---

2. 
К р у г на д в у м е р н о й п л о с к о с т и . В плоскости 
полярных координат р, 
0
рассмотрим уравнение
Дм -J- Хн = О,
или, в более подробной записи1),
ds« . 
1
да , 
1
д3и , , 
_
при краевом условии
«1
р
- 1 = 0. 
(7)
Будем искать нетривиальные решения задачи (
6
), (7) по так 
называемому методу разделения переменных, именно, будем 
искать решения^ имеющие вид
и
= / (
р
М 0)- 
(8)
Условие (7) приводит к краевому условию для функ­
ции / ( р)
/ ( 1 ) = 0 .
(9)
Подставив выражение (
8
) в уравнение (
6
), мы легко приве­
дем последнее к виду
*) Если х  и у — декартовы координаты на плоскости, то 
Р = V х 2 -J- у“, 
6
= arctg — . Отсюда