И здан и е второе, стереотипное

часть возникла из рассмотрения нескольких простых и важных 
задач физики. Рассм отрим некоторые из них.
1. 
З а д а ч а о к о л е б а н и и с т р у н ы . Допустим, что 
начальное положение струны совпадает с осью
Ох
и что 
колебания происходят в вертикальной плоскости. П усть в силу 
т е х или иных причин струна выведена из состояния равновесия. 
Такой причиной м ож ет оказаться, например, удар по струне. 
Струна при этом изменит свою форму; каждая точка струны
испытает некоторое смеще? 
ние. Допустим для просто-
_________
ты, что смещение перпенди-
^
КуЛЯрНО К ОСИ 
Ох
И ПРО­
ИСХОДИТ все время в одной 
р ис. 
1
, 
и той ж е плоскости (лг, и)
(рис. 1). Ордината и дает 
отклонение струны о т положения равновесия. Очевидно, 
и
есть функция д ву х переменных 
а = и(х, t).
Предполагая, что 
струна однородна, а толщина ее постоянна и что в моменты 
времени, следую щ ие за начальным, на струну не действую т 
никакие внешние силы и, наконец, что струна нерастяжима, 
но не сопроти вляется изгибу, можно доказать, что функция 
и
удовлетво р яет линейному уравнению в частных производны х
дх
‘ ~ ~ V
dt*' 
К ’
З д е сь
а
— постоянная величина, зависящая от физических 
сво й ств струны.
Уравнение (1 ) приближенное, оно пригодно в случае так 
назы ваем ы х малы х колебаний струны. Это уравнение носит

---

ВВ ЕД ЕН И Е
13
название 
волнового уравнения
с двумя независимыми перемен­
ными или 
уравнения колебаний струны.
Б о л е е сложны е задачи физики приводят к дифференциаль­
ным уравнениям, сходным с уравнением (1), но бол ее сложным. 
Т ак , поперечные колебания тонкой мембраны, которая в поло­
жении равновесия расположена в плоскости (.*-, 
у)
(рис. 2), 
описы ваю тся 
при 
известных 
услови ях 
дифференциальным 
и
уравнением в частных произ­
водны х второго порядка: 
дги
. 
дги
1
д*и
д
Р
~
т
a = co n st-
(
2
)
Уравнение (2 ) 
называется 
уравнением колебаний мем-
Рис. 2.
браны
или 
волновым уравне­
нием с тремя независимыми переменными.
Как и уравнение 
струны, оно достаточно точно описы вает тол ьк о малые коле­
бания мембраны.
Волновое уравнение с четырьмя независимыми перемен­
ными
имеет вид
Р и
, dju , д ги _ _  I д'и
дх г
' ду* ' dz* 
a1 dt‘ ' 
' '
Это уравнение определяет, например, поле скор о стей кол еб­
лю щ егося газа, если эти ск ор ости малы и имеют потенциал, 
т. е. если сущ ествует такая функция 
и,
что © = g ra d « , где 
v
— век тор ско.рости частицы газа.
2. 
Рассмотрим однородное тело, часть поверхности к о то р о го
подогревается. В таком теле во зн и кает температурное поле, 
причем температура, очевидно, 
меняется при 
п ереходе от 
одной точки тела к другой и о т одн ого момента времени 
к д ругом у. Обозначая температуру через 
и,
видим, что ы 
есть функция независимых переменных 
х, у, z, t
и — и ( л у , z, t).
М ож н о доказать, что эта функция у д овлетво р яет уравне­
нию в частных производных
дги ,д *и , д ги 
ди
5 ? + ® * + Л*
^ = con st. 
(4 )

---

Заметим, что вы ражение
Л , Л | f t