то функция гг(дг) окаж ется абсолютно непрерывной на сег
менте [а,
Ь],
где а — лю бое число из интервала
(а, Ь
).
М ож н о написать теперь новое представление дл я функ
ции
гг(х):
ь
и
(
jc
)
=
и (b)
— J
v
(
t) dt.
(3 )
X
При
x
—*
а
правая часть формулы (3 ) имеет предел
ь
и (b)
— ^
v (t) dt.
а
П о л о ж и в
ь
и
(a )
= u(b)
— §
v
(t)
dt,
а
мы сделаем функцию
и (х)
абсолю тно непрерывной на всем
се гм ен те [а,
Ь\.
Т е о р е м а 2.4.2.
Пусть функция и (х) определена почти
всюду на интервале (а, Ь), суммируема на нем с квадра
т ом и имеет обобщенную k -ю производную
н(й)(
x ) — v(x),
т ак ж е суммируемую с квадратом. Тогда функция и(х)
эквивалентна функции, которая ( k
—
1
)
раз непрерывно
дифференцируема на сегменте [а, Ь\, и почти всюду на нем
имеет обычную производную k -го порядка uW (x) — v(x).
При эт ом производная
н (А -1 ) (
jc
)
абсолютно непрерывна на
сегм ент е [а, Ь].
Д о к азател ьств а проводить не станем — оно т а к о е же, как
в тео р ем е 2 .4 .1 .
§ 5 .
Соболевские пространства
и
теоремы
в л о ж е н и я
Пусть Q — конечная область в пространстве
Ет.
Рассмотрим
множество функций, которые суммируемы в Q и имеют в этой об
ласти всевозможные обобщенные производные данного порядка
I,
суммируемые с
некоторой степенью
р,
1
< р <
со. Упомянутое мно
ж ество, очевидно, линейно. Его можно превратить в банахово про
странство, если ввести норму
II « II = ^ I «
(х)
|
dx
+ J j 2
1
dxhdxi i ...dx,l
|
J
'»
(1)
сумма во втором интеграле распространена на все наборы индек
сов
ilt
ia, ...,
ih
каждый из которых независимо пробегает значения
1, 2,
т.
Полученное таким образом пространство называется
соболевским
и обозначается символом
Wlp(Q).
Вводить норму по формуле (1) не совсем обязательно: в про
странстве Vy^(Q) допустима любая норма, эквивалентная норме (1).
В
современном анализе, и особенно в теории уравнений в част
ных производных, большую роль играют так называемые «теоремы
вложения»; они были впервые пол>чены С. Л. Соболевым и затем
многократно усиливались и обобщались. Сущность теорем вложения
такова. Если область Q удовлетворяет так называемому «условию
конуса» (см. ниже § 3 гл. 16) и если функция
и
£ W;(^(
Q),
то она
имеет всевозможные обобщенные производные всех предшествую
щих порядков. Производные порядка меньше
I,
а также и сама
функция суммируемы в
Q с некоторой степенью, большей чем
р.
Эта степень тем выше, чем ниже порядок производной.
Из сказанного следует, что если
lL
< /, то при некотором
p i > p
любой элемент пространства W^J(Q) принадлежит пространству
пространство W^*(!2) «вкладывается» в пространство
W^(Q).
Обозначим
через
Е
оператор, который каждой функции
и\х)
— эле
менту пространства
Q)
— приводит в соответствие ту же функ
цию
и (х),
но рассматриваемую как элемент пространства
Оператор
Е
называется
оператором вложения
пространства
Wjf*(Q)
в пространство
Wjjf* (Q).
Одна из важнейших теорем вложения со
стоит в том, что оператор вложения
Е
ограничен и (возможно, при
меньшем р ,) вполне непрерывен. Следствиями теорем вложения
являются приводимые ниже неравенства Фридрихса (гл. 14) и
Пуанкаре (гл. 16).
Обобщенные производные порядка меньше / суммируемы с не
которой
степенью, большей чем
р,
не только в С, но и на лежащих
в Q кусочно гладких многообразиях некоторых низших размерностей.
Чем ниже порядок производной, тем ниже можно взять размерность
многообразия. Производные достаточно низкого порядка могут
оказаться просто непрерывными. Справедливы теоремы об ограни
ченности и полной непрерывности
соответствующих операторов
вложения.
Затронутые здесь вопросы обстоятельно изложены в книгах [11
и [2].
УПРАЖНЕНИЯ
1. Теорему 2 3 1 доказать для пространства
Lp,
1
■<р < с о ,
за
менив сильную сходимость слабой.
2. Пусть
Q
— область /п-мерного евклидова пространства
Ет,
u £.Lp
(2 ) и существует обобщенная производная
£
Lp
(2)
O X
j
Пусть
I
— прямая, параллельная оси
x it (а, Ь)
— интервал, по кото
рому
прямая
I
пересекается с областью Q. Доказать, что почти на
всех интервалах (о,
Ь
) функция
и
абсолютно непрерывна и имеет
почти всюду обычную производную
ди дх,.
3.
Q
- область m-мерного пространства, которую можно заклю
чить в прямоугольный
параллелепипед со сторонами
а„а„...., ат.
Функция « (.г ) непрерывна в замкнутой области Q, равна т л ю на
границе области Q и имеет обобщенные первые производные
Do'stlaringiz bilan baham: 
