И робототехнические системы

6.5. Определение ориентации звеньев манипуляторов
с использованием углов Эйлера
Кроме направляющих косинусов, т. е. углов между осями координат X_i-1, Z_i, Y_i-1, Z_i и X_i-1, Y_i при определении ориентации звеньев манипулятора успешно используются углы Эйлера. Существует три системы углов Эйлера (Euler). В кинематике роботов используется система углов Эйлера, которая применяется в теории гироскопов и в астрономии при описании движения космических тел (рис. 6.16а):

1. 
   поворот на угол прецессии _I вокруг оси Z_i-1;
   
2. 
   поворот на угол нутации _i вокруг повернутой оси O_iX_i;
   
3. 
   поворот на угол собственного вращения _i вокруг повернутой оси O_iZ_i.
   

Угол прецессии – угол ометания, движения впереди, преддвижения.
Угол нутации – угол колебания оси собственного вращения.
Угол собственного вращения – угол вращения вокруг собственной оси.
Например, при вращении юлы угол _i с уменьшением угловой скорости увеличивается и юла падает (рис. 6.16б).

Рис. 6.16. Углы Эйлера

Перечисленные эволюции i-й системы координат отражаются следующим произведением матриц:

Для определения углов Эйлера можно использовать ранее изложенный алгоритм решения прямой задачи кинематики с той разницей, что на заключительном этапе должны быть вычислены значения углов Эйлера из сопоставления соответствующих элементов матриц Т_i-1,i и Е_i-1,, а именно:

1. 
   Рассчитываем матрицу Т_i-1,i, в результате становятся известными численные значения ее элементов.
   

2. Cопоставим те элементы матриц Т_i-1,i и Е_i-1,i, которые наиболее просто позволяют определить углы Эйлера, а именно:

; ;
; ;
; .