I. Kirish Respublikamizda ta'lim va tarbiya sohasidagi islohotlar bugungi dolzarb, ertangi taqdirmizni hal qiluvchi muammoga aylanmoqda

Ta‘rif. Agar (Х,) fazo quyidagi Borelp-Lebeg aksiomasini qanoatlantirsa, yani
Xar bir ochiq qoplama chekli sondagi qoplama ostidan iborat, yani agar X=UX_ bo`lsa, bu yerda Х<sub></sub>, , u xolda shunday chekli sondagi <sub>1</sub>,<sub>2</sub>,...,<sub>n</sub> indekslar mavjudki, ular uchun X=X<sub></sub>UX<sub></sub>U...UX<sub></sub> bajarilsa, (Х,) fazoni kompakt fazo deyiladi.
Agar АХ bo`lib, (Х,) fazo kompakt bo`lsa, A to`plam kompakt to`plam bo`ladi.
Ta‘rif. Agar (Х,) topologik fazoning A va V to`plam ostilari В= ва А = shartlarni qanoatlantirsa ularni ajratilgan to`plam ostilar deyiladi.
Ta‘rif. Topologik fazodagi istalgan bog`liq ochiq to`plam soxa deyiladi.
Kompakt fazoga misollar.
Xar qanday antidiskret fazo kompaktdir.
Xar qanday chekli topologik fazo kompaktdir.
Chekli sondagi ochiq to`plamlarga ega bo`lgan xar qanday kompaktdir.
Cheksiz nuqtaga ega bo`lgan diskret fazo kompaktdir.
R sonlar to`g`ri chizig`i kompakt emas.

III. Xulosa
Hozirgi zamon matematikning amaliy faoliyatga chuqur kirib borishi, uni fan-tehnika va iqtisodda qo'llanishi bilan xarakterlanadi. Boshqacha aytganda, matematika amaliy masalalarni yechishda metodalogik asos bo'lib qoldi.Shu bilan birga masalalar yechishda matematikadan tadqiqiy ko'nikma va malakalarni shakllantirmasdan turib, foydalanish mutlaqo mumkin emas. Tadqiqiy bilim, amaliy ko'nikma va malakalar matematikaning nazariy qurilishi bilan uning amaliy muamolarini bog'laydi. Matematik tushunchalarning asosiy negzini tasvirlaydi, amaliy masalalarni yechishda matematikani qo'llash vositasi bo'lib hizmat qiladi. Bu esa, hozirgi paytda tadqiqiy ko'nikmalarning ummumta'lim va umummadaniy qimmatga ega ekanligini ko'rsatadi.
Hozirgi zamon matematikasida oʻrganiladigan obʼyektlarning deyarli hammasi: chiziqlar, sirtlar va ularning umumlashmalari, sonlar toʻplamlari, metrik hamda funksional fazolar va hokazolar. Topologik fazoning aksiomalar tizimi ixchamligiga qaramay koʻpdankoʻp, xususan, nihoyatda chuqur va keng xossa hamda tushunchalarni aniklash, teoremalarni isbotlash, yirik nazariyalar yaratish va rivojlantirishga imkon beradi. Mas., bir Topologik fazoning ikkinchisiga akslantirishida har bir ochiq toʻplamning proobrazi (asli) ochiq boʻlsa, u uzluksiz deb ataladi; agar ochiq toʻplamlardan iborat istalgan qoplamadan chekli qoplama ajratish mumkin boʻlsa, Topologik fazo kompakt deyiladi; kompakt Topologik fazoda aniklangan uzluksiz sonli funksiya chegaralangan boʻladi; Topologik fazoni ikkita boʻsh boʻlmagan ochiq toʻplamlarga ajratish mumkin boʻlmasa, u bogʻlangan (tutash) boʻladi va h.k.