I. Kirish II. Nazariy qism Ikkinchi tartibli oddiy differensial tenglama 2

2.2.Ikkinchi tartibli oddiy differensial tenglama uchun qo’yilgan chegaraviy masalalarni sonli yechish

Faraz qilaylik, [ a ,b] da quyidagi

L(y) = y'' (x) + p(x) y' (x)+ q(x) y(x)= f (x) (1)
₀ y(a) + ₁ y'(a)= A, | ₀| + | ₁| 0, (2)
₀ y(b) + ₁ y'(b) = B , | ₀| + | ₀| 0 (3)
chegaraviy masala berilgan bo’lib, u yagona yechimga ega bo‘lsin.
[a ,b] oraliqni h = ( b - a ) / N qadam bilan teng N bolakka bo’lib,
{ x_i }_i=0ⁿ to’r hosil qilamiz:
a = x₀ < x₁ < x₂ < • • • < x_N = b . (4)
Endi (1) ni x₁,x₂,...,x_N-1 nuqtalarda, ya’ni { x_i }_i=0ⁿ to‘rning ichki nuqtalarida, (2) va (3) ni mos ravishda x₀, x_N nuqtalarda qaraymiz. ( l ) d a x = x_i i = 1, 2 , . . . , N - 1 desak,
y'' (x_i) + p(x_i)y' (x_i) + q(x_i) y (x_i)= f(x_i) , i = 1, 2 , . . . , N – 1
hosil bo’ladi. Bu yerda y'(x_i), y'' (x_i) larni y{x) funksiya qiymatlari orqali approksimatsiya qilamiz. Buning uchun x, nuqta atrofida y(x) to‘rtinchi tartibli hosilaga ega, deb hisoblaymiz va quyidagi yoyilmalami hosil qilamiz:
y(x_i-1) = y(x_i+h) = y(x_i) + y'(x_i)+ y''(x_i)+ y''' (x_i) + y^(IV)(x_i+ ), (6)

y(x_i-1) = y(x_i-h) = y(x_i) - y'(x_i)+ y''(x_i)- y''' (x_i) + y^(IV)(x_i- ) (7)

0< 0<
Bulardan quyidagilarga ega bo‘lamiz:
= y' (x_i)+o(h), (8)
= y' (x_i)+o(h), (9)
= y' (x_i)+o(h²). (10)
Bulaming chap tomoni mos ravishda o’ng hosila, chap hosila va markaziy hosila deb ataladi. Shunga o‘xshash y"(x_i) uchun
= y''(x_i)+o(h²). (11)
formulani hosil qilish mumkin.
Endi (5)dan (10), (11) larga asosan
p(x_i) +q(x_i)y(x_i)=f(x_i)+o(h²) (12)
ni hosil qilamiz, bundan esa
y(x_i-1)- y(x_i)+ y(x_i+1)=h²f(x_i)+o(h⁴),
i=1,2,…….,N-1
ko‘rinishga ega bo‘lgan (5) ning to‘ming ichki nuqtalaridagi approksimatsiyasi hosil bo‘ladi.
Runge-Kutta metodlari EHM yordamida hisoblash uchun qulay hisoblanadi.Chunki bu metodning quyidagi yaxshi xususiyatlari bor .

1. 
   Aniqliklari yaxshi (birinchi tartiblisidan boshqalarining).
   
2. 
   Ular oshkor metodlardir ,ya’ni , oldin aniqlangan qiymatlar orqali ma’lum formulalar orqali oshkor ifodalanadi .
   
3. 
   Barcha metodlarda qadamlar o’zgaruvchi bo’lishi mumkin :
   
4. 
   bu , echim tez o’zgaradigan joylarda qadamni kichraytirib , aks xolda qadamni kata qilib hisoblashga imkon beradi .
   
5. 
   Daslabki hisoblashni turini tanlab = ni berib ,hisoblashni oldindan ma’lum bo’lgan formulalar yordamida bajarish mumkin .
   

Bu xossalar Runge – Kutta metodini EHM yordamida hisoblash uchun qulay ekanligini ko’rsatadi . Shu sababli bu metod yordamida sistemani echishni qaraymiz .Umuman aytganda y va f(x,y) larni formal Y va F(X,Y) larga almashtirish kifoya .
Masalan

Ikkita tenglama uchun va larni taqribiy qiymatlarini y va z orqali belgilab , Runge – Kutte metodining to’rtinchi tartiblisini quydagicha yozish mumkin :

Bu yerda







Ko’pgina xisoblash programmalari shu formulalarga asoslangan .