I bob. Uzluksiz funksiyalar. Funksiya va uning uzluksizligi 5

3-ta’rif. Agar argumentning nuqtadagi cheksiz kichik orttirmasiga funksiyaning shu nuqtadagi cheksiz kichik orttirmasi mos kelsa, funksiya nuqtada uzluksiz deyiladi.
Funksiyaning nuqtadagi uzlukizligini tekshirishda keltirilgan ta’riflarning
biridan foydalanish mumkin.
Misol
funksiyani uzluksizlikka tekshiramiz. funksiya da aniqlangan. Istalgan nuqtani olamiz va bu nuqtada ni topamiz:
.
Bundan kelib chiqadi, chunki
chegaralangan funksiyaning cheksiz kichik funksiyaga ko‘paytmasi cheksiz kichik bol‘adi.
Demak, 3-ta’rifga ko‘ra funksiya nuqtada uzluksiz.
4-ta’rif. Agar bo‘lsa, funksiya nuqtada o‘ngdan (chapdan) uzluksiz deyiladi.
1-ta’rif va 4-ta’riflardan quyidagi xulosa kelib chiqadi: funksiya nuqtada uzluksiz bo‘lishi uchun u shu nuqtada ham chapdan va ham
o‘ngdan uzluksiz bo‘lishi zarur va yetarli.


Uzluksiz funksiyalarning xossalari
Nuqtada uzluksiz funksiyalarning xossalari
1-teorema (uzluksiz funksiyalar ustida arifmetik amallar). va funksiyalar nuqtada uzluksiz bo‘lsa, u holda , va funksiyalar nuqtada uzluksiz bo‘ladi.
Isboti. va funksiyalar nuqtada uzluksiz bo‘lgani uchun ular bu nuqtada va limitlarga ega. U holda funksiyaning limiti haqidagi teoremalarga ko‘ra , va funksiyalarning nuqtadagi limitlari mavjud va ular mos ravishda va ga teng bo‘ladi. Bu qiymatlar va funksiyalarning algebraik yig‘indisi, ko‘paytmasi va bo‘linmasining nuqtadagi qiymatlaridan iborat. U holda 1-ta’rifga ko‘ra , va funksiyalar nuqtada uzluksiz.
Bu teorema chekli sondagi funksiyalarning algebraik yig‘indisi va ko‘paytmasi uchun ham o‘rinli bo‘ladi.