I bob. Uzluksiz funksiyalar. Funksiya va uning uzluksizligi 5

2-teorema (murakkab funksiyaning uzluksizligi). funksiya nuqtada uzluksiz, funksiya esa nuqtada uzluksiz bo‘lsin. U holda murakkab funksiya nuqtada uzluksiz bo‘ladi.
IIsboti. funksiya nuqtada uzluksizligidan , , ya’ni da bo‘ladi. Shu sababli
funksiyaning uzluksiligidan

kelib chiqadi. Bu murakab funksiyaning nuqtada uzluksizligini bildiradi.
2-teorema yordamida (3.5.2) tenglikni quyidagicha umumlashtirish mumkin.
Agar funksiya nuqtada limitga ega bo‘lib, funksiya nuqtada uzluksiz bo‘lsa, u holda murakkab funksiya uchun
(3.5.5)
bo‘ladi.
Bu tenglik uzluksiz funksiya belgisi ostida limitga o‘tish qoidasini ifodalaydi
va funksiyaning limitini topishda foydalaniladi.
Misol
limitni topamiz:

funksiya va funksiyalarning murakkab funksiyasi. va funksiya nuqtada uzluksiz.
U holda (3.5.5) tenglikka ko‘ra

Butun sonlar o‘qida aniqlangan funksiyani qaraymiz. da bo‘ladi (3.41 band, 1-natija). Demak, o‘zgarmas funksiya
butun sonlar o‘qida, ya’ni o‘zining aniqlanish sohasida uzluksiz.
funksiya ham butun sonlar o‘qida uzluksiz, chunki .
Bundan 1-teoremaga ko‘ra funksiya ko‘paytmalaridan iborat darajali funksiya hamda o‘zgarmas va darajali funksiyalardan arifmetik amallar orqali hosil qilingan ko‘phad (butun-ratsional funksiya) istalgan nuqtada uzluksiz bo‘ladi.
Shu kabi yuqorida keltirilgan teoremalar va limitlar haqidagi teoremalar yordamida asosiy elementar funksiyalar o‘zining aniqlanish sohasida uzluksiz bo‘lishini ko‘rsatish va ushbu teoremani isbotlash mumkin.