I-боб. Умумий тушунчалар

1-теоремадаги айниятлар жуфт-жуфт тарзда шундай жойлаштирилганки, бири-иккинчисидан ва ќамда ва белгиларни бир ваšтда ўзаро жойларини алмаштириш натижасида келиб чиšади.
2-теорема. универсал тўпламнинг исталган ва тўпламлари учун šуйидагилар ќаšлидир:
6. Агар ќамма лар учун 6^. Агар исталган учун
бўлса, у ваšтда бўлса, у ваšтда .
7.7^. Агар ва бўлса, у ваšтда .
8.8^. .
9. 9^.
10. 10^.
11. 11^.
12. 12^.
13. 13^.
2-теореманинг айрим тенгликлари адабиётда махсус номга эгадир. Масалан,10 ва 10^ тенгликлар идемпотентлик šонуни дейилади,12 ва 12^-ютиш šонуни,13 ва 13^-де Морган šонуни деб аталади.
Тўпламлар алгебрасида бирор тенгликдан шу тенгликка кирган ни га, ни га, ни га, ни га бирданига алмаштириш натижасида ќосил этилган иккинчи тенгликни биринчи тенгликка ва, аксинча, биринчи тенглик иккинчи тенгликка нисбатан иккитарафлама тенглик деб айтилади.
3-теорема. Исталган ва тўпламлар учун šуйидаги мулоќазалар жуфт-жуфт эквивалентдир:
(I) ; (II) ; (III) . (1)
мулоќазалар жуфт-жуфт эквивалентдир деган тасдиš šуйидагини билдиради: исталган ва учун га эквивалентдир. Бу мулоќаза ўз навбатида фаšатгина нинг, нинг, ...., нинг тўђрилигини келтириб чиšаргандагина тўђридир.
Исбот: (I) (II) нинг тўђрилигини келтириб чиšаради.
бўлсин. Исталган ва учун эканлигини кўрсатиш керак.
а) бўлса, у ваšтда ва дир. Демак, .
б) бўлсин. У ваšтда (I.I) га асосан ќамдир. Шунинг учун , яъни (I) (II) нинг тўђрилигини келтириб чиšаради.
Энди бўлсин, у ваšтда эканлигини исбот šиламиз.

Демак, .
(III) (I) нинг тўђрилигини келтириб чиšаради.
Ростдан ќам ва бўлишидан . Бу билан исбот якунланади.


РЕЖА: