I bob. Metrik fazolar

I bob. Metrik fazolar

Bu bob metrik fazolar va undagi asosiy tushunchalarni bayon qilishga bag‘ishlangan. Bu bob 4 paragrafdan iborat.

Birinchi paragrafda metrik fazo ta’riflanib, ularga ko‘plab misollar keltirilgan. to‘plamda har xil metrikalar kiritilgan. Metrikaning uchburchak tengsizligini isbotlashda Koshi-Bunyakovskiy, Minkovskiy va Gyolder tengsizliklaridan foydalanilgan. O‘z navbatida bu tengsizliklar ham o‘z isbotlarini topgan. Koshi-Bunyakovskiy, Minkovskiy va Gyolder tengsizliklarining integral formasi ham keltirilgan. Bundan tashqari gomeomorf va izomorf metrik fazolar ta’riflanib, ularga misollar keltirilgan.
2-paragraf esa metrik fazolarda yaqinlashish va undagi ochiq va yopiq to‘plamlarning xossalariga bag‘ishlangan. Ochiq va yopiq to‘plamlarni ta’riflash uchun biz, yordamchi tushunchalar - urinish nuqtasi, limitik nuqta, yakkalangan nuqta va ichki nuqta ta’riflarini berganmiz. Keyin yopiq va ochiq to‘plamlarning xossalari isbotlangan. Jumladan metrik fazoda to‘plam ochiq (yopiq) bo‘lishligining yetarli va zarur shartlari keltirilgan. Yaqinlashuvchi ketma-ketlik ta’riflanib, unga misollar keltirilgan. Metrik fazoning hamma yerida zich va hech yerda zichmas to‘plamlar ta’riflanib, ularga misollar qaralgan. , fazolarning separabel metrik fazolar bo‘lishligi ko‘rsatilgan. Separabel bo‘lmagan metrik fazoga misol keltirilgan. Sonlar o‘qidagi ochiq to‘plamlarning strukturasi berilgan.
3-paragraf to‘la metrik fazolarga bag‘ishlangan. Yaqinlashuvchi va fundamental ketma-ketliklar orasidagi bog‘lanish ochib berilgan. , metrik fazolarning to‘laligi isbotlangan. ning to‘la bo‘lmagan metrik fazo ekanligi isbotlangan. Metrik fazoning to‘la bo‘lishligi haqidagi ichma-ich joylashgan yopiq sharlar haqidagi teorema hamda Ber teoremasi isbotlangan. Har qanday metrik fazoni to‘ldirish mumkinligi haqidagi teorema isboti bilan berilgan. Metrik fazolarda kompakt va nisbiy kompakt to‘plam tushunchalari berilgan. Asosiy funksional fazolar va da kompakt (nisbiy kompakt) lik kriteriylari keltirilib isbotlangan. Kompakt (nisbiy kompakt) va kompakt bo‘lmagan (nisbiy kompakt bo‘lmagan) to‘plamlarga misollar keltirilgan.
4-paragraf qisuvchi akslantirishlar prinsipi va uning tadbiqlariga bag‘ishlangan. To‘la metrik fazolarda har qanday qisuvchi akslantirishning yagona qo‘zg‘almas nuqtasi mavjudligi isbotlangan. Qisuvchi akslantirishlar prinsipining metrik fazodagi algebraik tenglamalar sistemasiga tadbig‘i bayon qilingan. Bundan tashqari chiziqli va chiziqli bo‘lmagan integral tenglamalarni yechishda qisuvchi akslantirishlar prinsipidan qanday foydalanish mumkinligi bayon qilingan.