I bob. Hisoblash matematikasining hozirgi zamon fan va texnikasi rivojlanishidagi o’rni 5

Misol 1.

matritsaning xarakteristik ko’phadi topilsin.
Yechish. deb olamiz. U xolda

Endi (3) tenglamalarni yozamiz



Misol 2.

matritsaning xos son sonlari va xos vektorlari topilsin.
Yechish. deb

larni hosil qilamiz va (3) sistemani yozamiz
.
Bu sistemani yechishda Gauss usulining uchinchi qadami bajarilmaydi, chunki 2 va 3-tenglamalar bir xil, demak lar chiziqli bo\liq.
larga bo\liq

sistemani tuzamiz. Bundan bo’ladi.
deb ni topamiz. ni topish uchun, bizga ma’lum

munosabatdan foydalanamiz



Endi xos vektorlarni topamiz:

,

ni topish uchun vektorni boshqacha tanlash kerak.
Danilevskiy usuli
Berilgan matritsa o’xshash almashtirish yordamida Frobenius

normal ko’rinishiga keltiriladi. Ma’lumki, matritsaning xarakteristik ko’phadi bo’ladi [1].

hosil qilinadi, so’ng hosil bo’ladi.
Har qadamdagi o’ngdan va chapdan ko’paytiriladigan matritsalarni ko’rinishini yozamiz
,
,
,

va hokazo. Natijada matritsa Frobenius normal ko’rinishiga keladi.
.
Danilevskiy usulida xos vektor quyidagicha topiladi:

bu erda
bo’lib, u matritsaning xos vektoridir.

II BOB MATRITSANING XOS SONLARI VA XOS VEKTORLARI

2.1 Xarakteristik ko’phad

- haqiqiy elementlarga ega bo'lgan - tartibli kvadrat matritsa va biror-bir noma’lum son bo'lsin. U holda matrisa, matritsaning xarakteristik matritsasi deyiladi, bunda - tartibli birlik matrisa. Xarakteristik matritsa:
(1)
ko'rinishga ega. Bu matritsaning determinanti xarakteristik determinant deyiladi va u quyidagicha yoziladi:
(2)
Xarakteristik detirminant yoyib yozilganda u ga nisbatan - tartibli ko'phad bo'ladi, chunki bu determinantni hisoblaganda, uning bosh dioganalidagi elementlarning ko'paytmasi eng katta hadi ga teng bo'lgan ko'phadni beradi, ya’ni
(3)
ko'phad (3) matritsaning xarakteristik ko'phadi, uning ildizlari (ular haqiqiy, yoki kompleks bo'lishi mumkin) esa matritsaning xarakteristik sonlari yoki xos qiymatlari deyiladi. Sonlar xarakteristik ko'phad (3) ning koeffitsientlari deyiladi. Nolga teng bo'lmagan vektor matritsaning xos vektori deyiladi, agar matritsa vektorni vektorga o'tkazsa:
(4)
bo'lsa, boshqacha qilib aytganda matritsaning vektorga ko'paytmasi va xarakteristik son ning vektorga ko'paytmasi aynan bir vektor bo'lsa matritsaning har bir xos qiymati ga o'zining xos vektori , mos keladi.
Xos vektorning koordinatalarini topish uchun quyidagi teglamani tuzamiz:

bu tenglama xarakteristik tenglama deyiladi. Uni ushbu ko’rinishda yozamiz:
(5)
bunda ko’paytirishni bajarib, bir jinsli tenglamalarni hosil qilamiz:
(6)
sistema (6) ning determinanti nolga teng bo’ladi, chunki ana shu shartdan matritsaning xos qiymatlari aniqlangan edi. Bu sistemani yechib, xos vektor ning barcha koordinatalarini topamiz. Sistema (6) ga ketma-ket larni qo’yish natijasida ta xos vektorlarni topamiz.