I bob. Funksiyaning uzluksizligi

1.3-§. Uzluksiz funksiyaning superpozitsiyasi

Uzluksizligi ma’lum bo’lgan funksiyalarni superpozitsiyalash yo’li bilan uzluksiz funksiyalarning keng sinflarini qurish mumkin. Buning asosida tubandagi teorema yotadi.

Teorema. funksiya oraliqda, funksiya esa oraliqda anqlangan bo’lsin; shu bilan birga, oraliqda o’zgarganda keyingi funksiyaning qiymatlari dan chiqmaydigan bo’lsin. Agar funksiya sohaning nuqtasida, uzluksiz esa dagi unga mos nuqtada uzluksiz bo’lsa, u holda murakkab funksiya ham nuqtada uzluksiz bo’ladi.
Isbot. Ixtiyoriy sonni olamiz. Shartga muvofiq funksiya da uzluksiz bo’lgani uchun bo’yicha shunday topiladiki,
dan
kelib chiqadi.
Ikkinchi tomondan, nuqtada uzluksiz bo’lganidan, bo’yicha shunday topiladiki,
dan
kelib chiqadi.
Bundan, ning tanlanishiga muvofiq:
.
Shu bilan, « tilida» funksiyaning nuqtadagi uzliksizligi isbot etildi.
Masalan, darajali funksiyani

ko’rinishida logarifmik va ko’rsatkichli funksiyaning superpozitsiyasidan iborat qilib yozsak, u holda oxirgi ikki funksiyaning uzluksizligidan darajali funksiyaning uzluksizligi kelib chiqadi.

II BOB
UZLUKSIZ FUNKSIYALARNING XOSSALARI


2.1-§. Funksiyaning nolga aylanishi haqida teorema

1⁰. Agar funksiya nuqtada uzluksiz bo’lsa, u holda x ning ga yetarlicha yaqin qiymatlarida funksiya chegaralangan bo’ladi.

2⁰. Agar funksiya nuqtada uzluksiz, bo’lsa, u holda x ning ga yetarlicha yaqin qiymatlarida bo’ladi.
Endi, biror oraliqda uzluksiz bo’lgan funsiyaning asosiy xossalarini o’rganish bilan shug’ullanaman. Bu xossalar o’z holiga ahamiyatli bo’lishi bilan birga, kelgusi bayonotlarda turli xulosalar chiqarish uchun ham asos xizmatini o’taydi.
Ularni qat’iy asoslash yo’liga birinchi qadam qo’ygan kishi Bolsono (1817) bo’lib, undan keyin esa Koshi (1821) bo’lgan. Quyida keltiriladigan muhim teorema ularga tegishlidi.