I bob. Funksiyaning uzluksizligi

Eslatma. Teoremadagi har bir shart muxim bo’lib, ularning birortasi bajarilmasa uning xulosasi ham o’rinli bo’lmasligi mumkin.
Misol. funksiya ixtiyoriy uchun segmentda qiymatlar to’plami bo’lib, da o’zinig yuqori chegarasiga erishmaydi.
2.2-§. Tekis uzluksizlik


funksiya X to’plamda uzluksiz va X bo’lsin. U holda uzluksizlik ta’rifiga ko’ra har bir >0 uchun shunday >0 son topilib, tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha x X lar uchun tengsizlik o’rinli bo’ladi. Bu yerda son ga bog’liq. Ikkinchi tomondan son nuqta o’zgarishi bilan ham o’zgarishi mumkin. Demak, son ham ga, ham nuqtaga bog’liq.
Ba’zi bir funksiyalar mavjudki, topilayotgan son faqat >0 ga bog’liq bo’lib, nuqtaga bog’liq emas.
Ta’rif. Agar har bir >0 son uchun shunday >0 son topilib, tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha X nuqtalar uchun tengsizlik o’rinli bo’lsa, funksiya X to’plamda tekis uzluksiz deyiladi.
Ta’rifdan ko’rinadiki X to’plamda tekis uzluksiz bo’lgan funksiya shu to’plamda uzluksiz bo’ladi, aksinchasi har doim to’g’ri bo’lavermaydi. Ya’ni shunday uzluksiz funksiyalar mavjudki, lekin tekis uzluksiz emas.
Misol. funksiya da uzluksiz, lekin tekis uzluksiz emas.
Haqiqatan, =1 songa mos kelgan >0 mavjud emas. Ya’ni, qanday >0 son olmaylik sonlar topilib,

bo’lib,

bo’ladi. nuqtalarni olaylik. = . n nomerni shunday tanlash mumkinki bo’ladi. Lekin

bo’ladi.
Demak, funksiya tekis uzluksiz emas.
Endi, uzluksiz funksiyalar qaysi vaqtda tekis uzluksiz bo’ladi degan savol tug’iladi, bu savolga ushbu teorema javob beradi.