I bob. Differensial tenglamalar haqida umumiy tushuncha

2-xulosa. Oldindan hisoblangan y_i yechimdan foydalanib y_i+1 toʻr yechimni topish uchun quyidagi geometrik shakl yasashlarni bajarish lo- zim:

1. 
   x_i tugun orqali ordinata oʻqiga parallel l⁽ⁱ⁾ toʻgʻri chiziq oʻtkazamiz;
   
2. 
   bu toʻgʻri chiziqda berilgan differensial tenglama yechimining grafigiga shu nuqta orqali oʻtuvchi urinma kesmalarining har bir nuqtasidan yoʻnalishlar maydonini hosil qilamiz;
   
3. 
   (x_i-1,y_i-1) nuqta orqali l toʻgʻri chiziqni shunday oʻtkazamizki, u l⁽ⁱ⁾ toʻgʻri chiziqni kesib oʻtsin va bu kesishish nuqtasiga oʻtkazilgan urinma bilan ustma-ust tushsin.
   

Bu kesishish nuqtasining ordinatasi y_i toʻr yechimni beradi, (x_i-1,y_i-1) nuqta va kesishish nuqtasi orqali oʻtkazilgan l toʻgʻri chiziq esa (1)-(2) Koshi masalasining izlanayotgan yechimi grafigiga [x_i-1, x_i] kesmada ya- qinlashuvchi siniq chiziqning boʻlagini beradi.

6-izoh. Yuqorida tavsiflangan Eyler usullari nafaqat bitta differensial tengla- ma bilan yozilgan Koshi masalasi uchun, balki n ta xuddi shunday tenglamalar sistemasi bilan yozilgan quyidagi Koshi masalasi uchun ham oʻrinli:

8-rasm.

(y_k)(x) = f_k(x, y₁(x), y₂(x), …, y_n(x)) , x₀ x x₀ + L, k = 1,2, …, n, y_k(x₀) = _k , k = 1,2, …, n .
Bu holda Eylerning oshkor usuli quyidagi munosabatlar bilan beriladi:
y_1,0 , y_2,0 , …, y_n,0 - berilganlar,
y_k,i+1 = y_k,i +hf_k(x_i, y_1,i, y_2,i, …, y_n,i), k = 1,2, …, n, i = 0,1, …, N–1, Eylerning oshkormas usuli esa quyidagi munosabatlar bilan beriladi: y_1,0 , y_2,0 , …, y_n,0 - berilganlar,
y_k,i = y_k,i-1 +hf_k(x_i, y_1,i, y_2,i, …, y_n,i), k = 1,2, …, n, i = 1,2, …, N,
bu yerda y_k,i – nomaʼlum y_k funksiyaning x_i tugundagi toʻr boʻyicha yaqin- lashuvchi miqdori.
Bu formulalarni qaytadan yozib oʻtirmaslik ham mumkin edi. Buning uchun (12) va (21) formulalarda asosiy belgilashlarni vektor shaklida yozish yetarli boʻlardi.
1-misol. Quyidagi oddiy differensial tenglamalar sistemasi bilan berilgan Koshi masalasi uchun Eylerning oshkor va oshkormas hisob for- mulalarini yozing
y₁ (x) = y₁²(x) + y₂²(x) ,
y₂ (x) = y₁(x) y₂(x) , 0 x 1,
y₁(0) = y₂(0) = 1.
Yechish. Eyler oshkor usulining hisob formulalari quyidagicha:
y_1,0 = y_2,0 = 1.
y_1,i+1 = y_1,i + h((y_1,i)² + (y_2,i)²) , i = 0, 1, …, N–1, (22)
y_2,i+1 = y_2,i + h(y_1,i y_2,i) , i = 0, 1, …, N–1 . (23)
Bu hisob formulalari boʻyicha bajarilgan hisoblashlarda i boʻyicha sikl bajariladi: x_i tugundagi y_1,i va y_2,i toʻr yechimlar topilgandan keyin i ning qiymatida (22) va (23) hisob formulalari boʻyicha navbatdagi x_i+1 tugund- agi y_1,i+1 va y_2,i+1 toʻr yechimlar topiladi.
Eyler oshkormas usulining hisob formulalari quyidagicha:
y_1,0 = y_2,0 = 1.
y_1,i = y_1,i-1 + h((y_1,i)² + (y_2,i)²) , i = 1, 2, …, N, (24)
y_2,i = y_2,i-1 + h(y_1,i  y_2,i) , i = 1, 2, …, N . (25) Bu hisob formulalari boʻyicha ham bajarilgan hisoblashlarda i boʻyicha sikl bajariladi: x_i-1 tugundagi y_1,i-1 va y_2,i-1 toʻr yechimlar topil- gandan keyin i ning qiymatida (24) va (25) hisob formulalari boʻyicha navbatdagi x_i tugundagi y_1,i va y_2,i toʻr yechimlarga nisbatan ikkita skalyar tenglamalar sistemasi yechiladi va ulardan shu yechimlar topiladi.
izoh. Bu bajarilgan mashq asosida shu narsa ayonki, Eyler oshkor- mas usulining har bir qadami Eyler oshkor usulining qadamiga nisbatan kattaroq hajmdagi hisoblashlarni talab qiladi, shuning uchun oshkormas holda oshkor formulalarga nisbatan skalyar tenglamalar sistemasini yechishning murakkab prosedurasini qoʻllash talab qilinadi, bu esa oʻz navbatida maʼlum bir qiyinchiliklarni tugʻdiradi. Ammo bunday tezkor xulosaga kelish yaramaydi. Gap shundaki, Koshi masalasining talab qilin- gan aniqlikdagi taqribiy yechimini topishning hisoblash ishlari umumiy hajmi nafaqat algoritm qadamlarining qiyinligi, bilan balki ulaning qadam- lari soni bilan ham aniqlanadi. Shunday sistemlar (masalan, «qat’iy» dif- ferensial tenglamalar sistemasi) mavjudki, uning toʻr yechimlarini yetarli aniqlikda topish uchun oshkor usul boʻyicha hisob toʻrining qadamini juda ham kichik qilib olish talab qilinadi, oshkormas usuldan foydalanilganda esa aniq yechimga yanada yaqinroq boʻlgan taqribiy natijani toʻrning kat- taroq qadamlarida ham olish mumkin. Bu holda oshkormas usul hisob qadamlarining soni kamligi sababli umumiy arifmetik amallar soni kam boʻladi.