I bob. Differensial tenglamalar haqida umumiy tushuncha

2-misol. Eyler modifikatsiyalangan usuli (55) ning geometrik maʼnosini tushuntiring.
Yechish. Shunday savol tugʻiladi: (54) va (55) usullarning Eylerning oshkor usulidan nima ustunligi bor? Bunga javob quyidagicha: Eylerning toʻgʻrilangan va modifikatsiyalangan usullari h 0 da toʻr yechimning dif- ferensial masala yechimiga tezroq yaqinlashishini taʼminlaydi. Bu usullar shunday xossaga ega boʻlishining sababi bu Eylerning oshkor usuliga nis- batan ularning lokal xatoligi algoritm qadamlarida h qadam boʻyicha yuqori tartibli kichiklikka egaligida.
Bundan kelib chiqadiki, bu dalil faqat yetarlicha silliq yechimlar uchungina oʻrinli. Shuning uchun biz bundan keyin differensial tenglamaning oʻng tarafidagi f funksiyaga qoʻshimcha shartlar qoʻyamiz, bunda faraz qilamizki, nafaqat f funksiya, balki uning birinchi tartibli hosi- lalari f_x, f_y, hamda uning ikkinchi tartibli hosilalari f_xx, f_xy, f_y ham x, y oʻgaruvchilarga nisbatan uzluksiz va chegaralangan boʻlsin; Isbot. (58) baholashni chiqarishning gʻoyasi Eyler oshkor usulining
(40) baholashinikiga oʻxshash (bu yerda M oʻzgarmasning qiymati har ikkala usul uchun bir biridan farq qiladi). Qaralayotgan usulning lokal xatoligi uchun ushbu
68) va (69) ifodalarni oʻzaro taqqoslab, ularda h boʻyicha nolinchi, birinchi va ikkinchi tartibgacha kichiklikdagi cheksiz kichik miqdorlar bir xil va shuning uchun ularni (59) ifodaga qoʻyganimizda ular oʻzaro qis- qarib ketadi. Demak, Eyler toʻgʻrilangan usulining lokal xatoligi quyidagi- ga teng:
68) va (69) ifodalarni oʻzaro taqqoslab, ularda h boʻyicha nolinchi, birinchi va ikkinchi tartibgacha kichiklikdagi cheksiz kichik miqdorlar bir xil va shuning uchun ularni (59) ifodaga qoʻyganimizda ular oʻzaro qis- qarib ketadi. Demak, Eyler toʻgʻrilangan usulining lokal xatoligi quyidagi- ga teng:
shunga koʻra bu h ga nisbatan uchinchi tartibgacha kichiklikdagi cheksiz kichik miqdor. Bunda (71) munosabatning oʻng tarafidagi ikkinchi had (_ih³) ning moduli yuqoridan M₇ˑh³ miqdor bilan baholanadi, bu yerda
(70) ga koʻra M₇ ning qiymati quyidagicha:
M₇ = (M₄+2 M₅ M₁+ M₆(M₁)²)/2
Birinchi handing moduli esa xuddi hu tartibli M₆ h³ cheksiz kichik mi- qdor bilan yuqoridan baholash imkonini beradi, ammo bunda oʻzgarmas M_S. Bu oʻzgarmasni topish uchun (64) tenglikning oʻng tarafini differensi- allash lozim va (60) munosabatdan foydalanib, y⁽ⁱ⁾ yechimning uchinchi hosilasini hamda uning ikkinchi tartibli xususiy hosilalarini differensial
tenglamaning oʻng tarafi orqali quyidagicha ifodalash zarur Shunday qilib, M = M₈ + M₇ konstantali (58) baholash oʻrnatildi.
3-misol. Eylerning modifikatsiyalangan usuli holida lokal xatolik xuddi (58) baholash kabi baholashni (boshqacha aytganda M oʻzgarmasli) qanoatlantirishini koʻrsating.