|
3-xulosa. Algoritmning (i+1)-chi qadamida xi+1 tugunda topilgan yi+1 toʻr yechimning xatoligi (32) yigʻindi boʻlib, bu (33) va (34) larning yigʻindisidan tashkil topgan, ularning birinchisi algoritmning oldingi qadamlarida yoʻl qoʻyilgan lokal xatoliklar taʼsirini ifodalaydi, ikkinchisi esa (i+1)-chi qadamdagi lokal xatolik.
Endi lokal xatolikni baholaylik. Bu munosabatga kiruvchi y(i) yordamchi yechimning ikkinchi hosilasi modulini baholaylik.
(15) tenglikni x boʻyicha differensiallaymiz, keyin esa shu tenglikdan yana bir bor foydalanib, quyidagiga ega boʻlamiz:
x y x y
Bu yerdan (29)-(31) shartlarga koʻra ixtiyoriy x[x0, x0+L] uchun quyidagi tengsizlik oʻrinli ekanligi kelib chiqadi. Boshqacha qilib aytganda, barcha lokal xatoliklarning moduli h boʻyicha ikkinchi tartibli kichiklikka ega cheksiz kichik miqdor bilan baholanadi.
Endi jamlangan xatoliklarni tadqiq qilishga oʻtaylik 3-lemma. Faraz qilaylik, yI, yII – berilgan (1) differensial tenglaman- ing ikkita yechimi, ( < ) – berilgan [x0, x0+L] kesmaning ikkita nuqtasi boʻlsin (10-rasm). U holda bu yechimlarning , nuqtalardagi farqi quyidagi munosabat bilan bogʻlangan: Faraz qilaylik, ushbu
z(x) = yI(x) – yII(x) (43)
miqdor bu yechimlarning farqi boʻlsin. Bu miqdor qaysi differensial tenglamani qanoatlantirishini aniqlaylik.
(43) dan hosila olamiz, oʻrniga qoʻyishlardan keyin quyidagiga ega boʻlamiz:
z (x) = f(x,yI(x)) – f(x,yII(x)). (44) Bu tenglikning oʻng tarafiga Lagranjning chekli orttirmalar formu-
lasini y oʻzgaruvchi boʻyicha qoʻllaymiz, natijada:
f(x,yI(x)) – f(x,yII(x)) = fy(x, y(x) )( yI(x) – yII(x)). (45)
(45) va (43) formulalarni hisobga olib, (44) formuladan quyidagi tenglikni keltirib chiqaramiz:
z (x) = c (x) z (x) , (46)
bu yerda c (x) funksiya oqrali quyidagi funksiya belgilangan:
c (x) = fy (x, y(x) , (47)
yI, yII yechimlarni har xil deb hisoblaylik (agar ular oʻzaro mos boʻlsa
(42) tenglikning toʻgʻriligi koʻrinadi). Aslida bu yechimlarning qiymatlari [, ] kesmaning biror nuqtasida ham mos tushmaydi, chunki agar yI(x*) = yII(x*) = y* tenglik oʻrinli boʻlganda edi, qaralayotgan differensial tenglama bilan berilgan Koshi masalasi ushbu y(x*) = y* boshlangʻich shartda ikkita har xil yechimga ega boʻlgan boʻlardi, bu esa berilgan tenglamaning oʻng tarafiga nisbatan farazimizga zid boʻlib chiqadi. Natijada (43) ifoda nolga aylanmaydi, shuning uchun, birinchidan, (46) tenglikni quyidagicha yozib olish mumkin: Bu yerdagi c(x) funksiyanig uzluksizligi haqida xulosa chiqarish uchun ikkita uzluksiz funksiyalar nisbatidagi maxraj nolga aylanmasligi lozim.
Oxirgi xulosa (48) differensial tenglamaning har ikkala tarafidan [,
] kesma boʻyicha aniq integral olishga imkon beradi, natija quyidagi tenglikni beradi:
Shuni taʼkidlaymizki, progressiya hadlarining yigʻindisi formulasida surat va maxrajning musbatligini taʼminlash uchun qoʻshiluvchilarning oʻrnini ham suratda va ham maxrajda almashtirdik.
(51) shartni kuchaytiramiz, buning uchun undagi kasrning suratini un- dan katta boʻlgan songa, maxrajini esa undan kichik boʻlgan songa al- mashtiramiz. Buning uchun suratdagi i indeksni uning maksimal qiymati N bilan almashtiramiz hamda (3) dan kelib chiquvchi Nh = L tenglikdan foy- dalanib, surat uchun exp(M3h) – 1 dan kattaroq boʻlgan songa ega boʻlamiz. Maxrajdagi exp(M3h) miqdorni esa eksponenta uchun qatorga yoyib, ulardagi 1 birlikni qisqartirib, natijada quyidagi munosabatga ke- lamiz: Bu baholashdan toʻr qadamining nolga intilishi bilan toʻr yechimi xatolig- ining ham nolga intilishi (bunda u toʻr tugunlari boʻylab nolga tekis yaqin- lashadi) haqidagi (28) munosabat kelib chiqadi.
Agar koʻrsatilgan oʻzgarmaslar nomaʼlum boʻlsa (bu hol amaliyotda tez-tez uchraydi), u holda talab qilingan N qiymatni izlash uchun Runge qoidasi deb ataluvchi maxsus qoidadan foydalaniladi; bu qoidaga koʻra kesmani boʻlishlar soni har safar ikkilantirib boriladi va har safar berilgan aniqlikni taʼminlovchi N qiymatni topish uchun olingan toʻr yechimlar taqqoslanib boriladi.
Do'stlaringiz bilan baham: |
