I-bob. Asosiy qism

1.2 Ularni berilish usullari.
Agar f (0,0,...,0)  0 bo‘lsa, u holda ( , ,..., ) 1 2 n f x x x funksiyaga 0 saqlovchi funksiya deb aytiladi. Agar f (1,1,...,1)  1 bo‘lsa, u vaqtda ( , ,..., ) 1 2 n f x x x funksiyaga saqlovchi funksiya deb aytamiz. Mulohazalar algebrasidagi n argumentli 0 saqlovchi funksiyalar to‘plamini P0 va 1 saqlovchi funksiyalar to‘plamini P1 bilan belgilaymiz.
2-ta’rif. f va g mulohazalar algebrasining funksiyasi va n x ,..., x 1 lar hech bo‘lmaganda larning bittasining argumentlari bo‘lsin. Agar n x ,..., x 1 argumentlarning hamma qiymatlari satri uchun f va g funksiyalarning mos qiymatlari bir xil bo‘lsa, u holda f va g funksiyalar tengkuchli funksiyalar deb aytiladi va f  g shaklida yoziladi.
3-ta’rif. Agar ( , ,...., ,1, ,...., ) ( , ,...., ,0, ,...., ) 1 2 i 1 i 1 n 1 2 i 1 i 1 n f x x x x x f x x x x x      bajarilsa, u vaqtda i x argumentga ( , ,..., ) 1 2 n f x x x funksiyaning soxta argumenti deb aytiladi. Agarda ( , ,...., ,1, ,...., ) ( , ,...., ,0, ,...., ) 1 2 i 1 i 1 n 1 2 i 1 i 1 n f x x x x x f x x x x x      bo‘lsa, u holda i x argumentga ( , ,..., ) 1 2 n f x x x funksiyaning muhim argumenti deb aytiladi.
Misol. f (x, y)  x  (xy) funksiya uchun u argumenti soxta argument bo‘ladi, chunki f (1,0)  f (0,1).
Raqamli uskunalar ishi yoqib o‘chiruvchi yoki bul funksiyasi yordamida baholanadi.
F (x₁ , x₂ , …x_n) ko‘rinishdagi funksiya bul (mantiqiy yoki yoqib o‘chiruvchi) funksiya deb nomlanadi, agar (x₁ , x₂ , …x_n) o‘zgaruvchanlar faqat ikkita 0 va 1 qiymatlarni qabul qila olsalar.
Mantiq algebrasi funksiyalarini amalga oshirish uchun mo‘ljallangan qurilmalar raqamli yoki mantiqiy deb nomlanadi.
Mantiqiy qurilmalar sxemasining tuzilish turiga ko‘ra ikki sinfga bo‘linadi: kombinaitsion qurilmalar ( mos ravishda kombinatsion sxemalar) va ketma-ketli qurilmalar (ketma-ketli sxemalar).
Kombinatsion uskunada (xotirasiz avtomat deb ham nomlanadi) chiqishdagi signallar uskuna kirishlariga ushbu vaqtda ta’sir etayotgan va avval kirishga qanday signal ta’sir qilganiga bog‘liq bo‘lmagan holda –faqat simvollar (mantiqiy 0 yoki 1) bilan aniqlanadi.
Ketma –ketli uskunada (yoki xotirali avtomatda) chiqish signali ushbu vaqtda kirishlarga ta’sir etayotgan na faqat simvollar to‘plami hamda uskunaning ichki xolati bilan aniqlanadi, ya’ni avvalgi vaqt paytlarida qanday simvollar to‘plami ta’sir etganiga bog‘liq.
Bul algebrasi uchta asosiy mantiqiy operatsiyallardan iborat: EMAS operatsiyasi (inversiya, mantiqiy inkor)
YOKI operatsiyasi (diz’yunksiya, mantiqiy qo‘shish) VA operatsiyasi (kon’yuksiya, mantiqiy ko‘paytirish)

F = x
^{o‘zgaruvchi (x) ni inkor etish («IKS EMAS»)} F = x
ko‘rinishda

yoziladi, bu erda F – operatsiya natijasi.
Mantiqiy qo‘shish (diz’yunksiya) “+” yoki “v” belgi bilan ifodalanadi

F = x₁ + x₂ +
; F teng x₁, yoki x₂ yoki x_n Mantiqiy ko‘paytirish (kon’yuksiya) “^” yoki “.” belgilanadi. Oxirgisi qo‘llanilganda ushbu operatsiya quyidagi ko‘rinishda yoziladi
F = x₁ × x₂ ×...× x_n
va F teng x₁ va x₂ va ... va x_n. Belgi “.” ko‘pincha yozilmaydi, ya’ni F= x₁ x₂ …x_n.
Bul algebrasi asosiy operatsiyalari – inversiya, diz’yunksiya va kon’yuksiya
– har qanday mantiqiy funksiyani tuzishga imkon beradi.
Raqamli qurilmalarning yaratish va tahlilini matematik ravishda amalga oshirishda mantiq algebrasi aksiomalari va teoremalariga asoslangan qonunlarini ifodalovchi bul algebrasi qo‘llaniladi.
Bir o‘zgarvuchanli (bitta argument uchun) mantiq algebrasi elementar ta’riflarida tengliklar deb nomlanadi:

х + 0 = х х +1 = 1 х + х = х

х + х = 1
х × х = 0
х = х

Ikki va undan ko‘p o‘zgaruvchanlar uchun mantiq algebrasi teoremalari:

1. 
   O‘rin almashish (kommutativlik)
   

а) х + у = у + х
b) х×у = у×х

2. 
   Guruhlash (assotsiativlik) qonuni
   

а) х + у + z = x +(у + z)
b) x×у×z = х×(у×z)

3. 
   Taqsimot (distributivlik) qonuni
   

а) x ×(у + z) = х × у + х × z
b) х + у × z = (х + у)×(х + z)

isboti:
x + х × у + х × z + у × z = x(1+ у + z) + у × z = x + у × z

4. 
   Singish qonuni:
   

а) х + х × у = х;
b) х×(х + у) = х

v) (х + у)×у = х×у g) х×у + у = х + у

isboti:
а) х + х × у = х(1+ у) = х, чунки 1+ у =1;
b) х ×(х + у) = х × х + х × у = х(1+ у) = х;

v) (х + у)×у = х×у+ у×у = х×у, chunki у×у = 0

4 g tenglamani isbotlash uchun chap tarafdagi ifodani x+x ko‘paytirish kerak. x+x bu qo‘shimcha natijani o‘zgartirmaydi.
g) (х × у+) × (х + х ) = х × х × у + х × у × х + х × у + у × х =
= х × у + +х × у + х × у = (х × у + х × у) + (х × у + х × у) =
= х × ( у + у) + у(х + х) = х ×1+ у ×1 = х + у

5. 
   Elimlash qonuni:
   

а) х × у + х × у = х
b) (х + у) ×(х + у) = х
isboti:
а) х × у + х × у = х ×(у + у) = х ×1= х
b) (х + у) × (х + у) = х × х + х × у + х × у + у × у =
= х + х × у + х × у + у × у = х + х × у + х × у =
= х(1+ у + у) = х ×1 = х

6. 
   Inversiya qonuni (de Morgan qoidalari);
   

а) х + у = х × у ,



b) х × у = х + у



De Morgan qoidalari YOKI mantqiy operatsiyasini VA, EMAS operatsiyalari, VA operatsiyasini esa – YOKI, EMAS operatsiyalari yordamida ifodalash mumkinligini ko‘rsatadi. Masalan, (6,a) tenglamaning chap va o‘ng tarafdagi qismlari ustidan inversiyani bajarib, YOKI mantiqiy operatsiyani
ekvivalentini olish mumkin: ^{х + у = х × у}
Xuddi shunday, 6, b tenglamaning inversiyasini bajarib, mantiqiy VA operatsiyasini

De Morgan qoidalarining amaliy ahamiyati muhimligi shundaki, ular sxemada amalga oshirish uchun qullay ko‘rinishga olib kelish maqsadida murakkab bul tenglamalarida algebraik amallarni bajarishga imkon yaratadi.

1.