I-§. Tasodifiy hodisa. Elementar hodisalar fazosi Ehtimollar nazariyasining asosiy tushunchalaridan biri tasodifiy hodisadir. Bu tushuncha tajriba bilan chambarchas bogiiqdir

I-§. Tasodifiy hodisa. Elementar hodisalar fazosi Ehtimollar nazariyasining asosiy tushunchalaridan biri tasodifiy hodisadir. Bu tushuncha tajriba bilan chambarchas bogiiqdir. Tajriba sun’iy ravishda yaratiluvchi yoki uni o‘tkazuvchi shaxsning ixtiyoriga bogiiq boimagan holda vujudga keluvchi maium shartlar kompleksi bajarilganida, o‘tkaziladigan sinovdan iborat. Tajribalarni ikki sinfga (turga) boiish mumkin. Ulaming birida tajriba natijalari tabiat qonunlariga tayangan holda oldindan aytib berilishi mumkin. Bunday tajrihalar deterministik (aniqlangan) degan nom bilan yuritiladi. Tajnbalaming ikkinchi sinfida esa bir xil shart-sharoit bajarilganda ham sinov natijasida bir-birini rad etuvchi xilma-xil hodisalar ro‘y berishi mumkin. Bunday xilma-xillik masalan, elektr lampochkalarining ishdan chiqish hodisasini kuzatganda, elementar zarrachalar bir-birlari bilan to‘qnashganda, individumlarning biror tibbiy preparatga ta’sirchanligi kuzatilganda va hokazolarda uchraydi. Bunday tajribalarni o‘rganish ehtimollar nazariyasining predmetini tashkil etadi. Ular tasodifiy (stoxastik) yoki ehtimollik tajribalari deb ataladi. Biz bunday tajribalarni istalgancha qaytarish mumkin, deb faraz qilamiz. Tasodifiy tajribaning har qanday natijasi elementar hodisa deyiladi. Tajriba natijasida ro‘y berishi mumkin boigan barcha elementar hodisalardan tashkil topgan to'plamni biz elementar hodisalar fazosi yoki tanlanma fazo deb ataymiz va Q orqali belgilaymiz, har bir elementar hodisani esa со, (сое Q ) orqali belgilaymiz. Elementar hodisalar fazosining tuzilmasini izohlash uchun quyida misollar keltiramiz. 1-misol. Tajriba bir jinsli simmetrik tanga tashlashdan iborat boisin. Raqamni «г» va gerbni «g» orqali belgilasak, u holda elementar hodisalar со, = g va co2 = r boiib, elementar hodisalar fazosi £2 &>,,гу2} to‘plamdan iborat boiadi. 4 2-misol. Tajriba nomerlangan kubni (yoqlari birdan oltigacha nomerlangan bir jinsli kubni) tashlashdan iborat bo'lsin. Bunda elementar hodisalar fazosi Q ={ 1,2,3,4,5,6 | to‘plamdan iborat. 3-misol. Faraz qilaylik, biz telefon stansiyasining ishini bir soat ichida kuzatib, chaqirishlar (talablar) soni bilan qiziqaylik. Kn/aluv vaqtida bitta ham chaqirish kelmasligi, bitta chaqirish kclishi, ikkita chaqirish kelishi va hokazo hodisalar ro'y bcrishi mumkin. Bu tajribada elementar hodisalar fazosi Q ={ 0 , 1,2,...} ko'rinishga ega. 4-misol. n ta sharni m ta turli sharlarni o'z ichiga olgan idishdan tanlash bilan bogiiq bo'lgan murakkabroq tajribani ko'rib o'tamiz. Har bir tanlovda olingan shar idishga qaytarib qo‘yiladigan tajribaga takroriy (yoki qaytuvli) tanlash deyiladi. Bu holda n ta shardan iborat har qanday tanlanma Q = { м , , и , , . ko'rinishda yozilishi mumkin, bu yerda orqali / -qadamda olingan shaming raqami belgilangan. Takroriy tanlanmada har bir и., 1 , 2 , 3 qiymatlardan birini qabul qilishi mumkin. Elementar hodisalar fazosini tasvirlash bir xil tarkibli, masalan, (5121234) va (1251243) kabi tanlanmalami bir xil tanlanma yoki har xil tanlanma deb hisoblashimizga qarab tubdan farq qiladi. Shu munosabat bilan ikki holni farqlaymiz: tartiblangan tanlanmalar va tartiblanmagan tanlanmalar. Tartiblangan tanlanmalar qaralgan holda elementar hodisalar fazosi £} =|co;co = (w,,m2, = 1,2.... w} ko'rinishga ega va elemental hodisalar soni = ga teng. Tartiblanmagan tanlanmalarrn biz со - [u],u2,...,un] shaklida ifocialasak, bu holda elementar hodisalar fazosi Q = {(d'.co =[ux,u2,...,un]\uj = 1,2,...,m} ning elemenltari sonini K(m,n) orqali belgilaymiz, u holda j tadan tuzilgan gumhlar soniga teng. ( 1) tenglikning isboti ushbu N(Q)=K(m,n) = CZ (F) n K(l,n) - 1, К(m,n) = ^ K(m - l,s) (2) rekkurent munosabatdan kelib chiqadi. (2) tenglikdagi K(m-\,s) avval 777 — 1 ta turli sharli idishdan s ta shardan iborat tartiblanmagan tanlanma olib, so'ngra m -sharni n-s marta qo‘shib olishdan hosil bo‘lgan elementar hodisalar soniga teng. 5-misol. Bu misolda endi tanlangan shar idishga qaytarib qo‘yilmaydi. Bunday tajribaga qaytarilmas tanlash deyiladi. Bu holda и < 777 deb faraz qilamiz. Qaytarilmas n ta shardan iborat tartiblangan tanlash o‘tkazilgan holda elementar hodisalar fazosi Q = ico;a) = Ф и, Ф ... Ф un,и, = 1. 2._/771 to‘plam orqali ifodalanadi va bu to'plamning elementlari soni ??? elementdan n tadan o'rinlashtirishlar soni A” ga teng. Tartiblanmagan tanlash o'tqazilgan holda elementar hodisalar fazosi to'plamdan iborat bo'ladi va har bir tartiblanmagan turli elementli tanlanmadan 77! ta turli tartiblangan tanlanmani hosil qilish mumkin bo'lgani uchun barcha elementar hodisalar soni ga teng bo'ladi. 6-misol. Navbatdagi misol sifatida shamolning yo'nalishini aniqlashdan iborat bo'lgan tajribani koiaylik. Agar biz natijani 9 orqali belgilasak, u holda 9 [0 ,2я ) yarim intervaldan qiymatlar qabul qiladi. Shunday qilib, tabiiy ravishda Q elementar hodisalar fazosi chekli yarim intervaldan (yoki aniqrog'i aylananing nuqtalaridan iborat bo'ladi). Bir vaqtning o'zida shamolning yo'nalishi 9 va uning v’ tezligini kuzatish yana ham aniqroq tajriba bo'lar edi. Bu holda elementar hodisalar fazosi Q ={< в < 2n;v > 0 }, ya'ni ikki o'lchovli vektorlardan tashkil topgan cheksiz to'plam orqali ifodalanar edi ( m )„ = 777( о т - 1) . . .(7 77 — 77 + 1) 6 7-misoI. Broun harakati. Mikroskopda molekulalar tomonidan ko'P miqdordag. zarbalar natijas,da tartibsiz (xaotik) harakat qilayotgan kichik zarrachaning holati kuzatilayotgan bo'lsin. Kuzatuv [0,7] vaqt oraligida o‘tkazilayotgan bo'lsin. Bu tajribaning natijasi zarrachaning harakat trayektoriyasidan iborat bo'ladi. Agar bizni zarrachaning biror yo'nalish bo‘yicha siljishi qiziqtirsa, u holda vaqtning ixtiyoriy , momentida U e [0 ,Т]), Uni tanlangan yo'nalishdag, proyeksiyasining vaziyati x(t) koordinata orqali ifodalanadi. Bu holda elementar hodisalar fazosi Q = { * (, );,e [0,Г]} = С[ЦГ][0,Г] oralig'ida aniqlangan haqiqiy uzluksiz funksiyalar to'plamidan iborat bo'ladi Demak, elementar hodisalar fazosi chekli, sanoqli va hatto kontinium quvvatga ega bo'lishi m Umkin ekanligi yuqorida keltirilgan misollardan yaqqol ko'rinadi. Elementar hodisalar fazosi bilan b.r qatorda endi eng muhim tushuncha tasodifiy hodisa yoki (boshqa tipdagi hodisalarni biz bu darslikda ko'rmayotganligim.z sababli) hodisa tushunchasini kiritamiz. Hodisalar elementar hodisalardan tashkil topgan to‘plamlar bo'Iib, ular odatda lotin alifbosinmg bosh harflari A.B.C,... lar bilan belgilanadi. Tajriba natijasida albatta ro'y beradigan hodisaga bi; muqarrar hodisa deymiz. Aksincha hech qachon ro'y bermaydigan (ya’ni birorta ham elementar hodisam o'z ichiga olmagan) hodisaga mumkin bo'lmagan yoki bajarilmaydi«an hodisa deb aytavmiz va uni 0 orqali belgilaymiz. Bjrorta berilgan hodisalar sinfiga tayanib "yoki”, ”va”,”mkor qilish" kabi mantiqiy bogManishlar yordamida yang1 hodisalarni “hech bo'lmaganda” hosil qilish mumkin; bu mantiqiy bog'lanishlarga to'plamlar nazariyasida -birlashma”, "kesishma” va “to'ldirma” kabi amallar mos keladi. A hodisaga teskari (qarama-qarshj) A hodisa deb. A hodisa Ю у beimaganda va faqat shundagina bajariladigan hodisaga aytiladi. A va В hodisalarning yigindisi a + b (yoki ^ U £ ) deb, A yoki В hodisalar, yoki ikkalasi ham bajarilganda va faqat shundagina bajariladigan hodisaga aytiladi. A + A = Q - muqarrar hodisa ekanligi o‘zo'zidan ayon. 7 A va В hodisalarning ko‘paytmasi AB (yoki A f]B ) deb, A va В hodisalar birgalikda bajarilganda va faqat shundagina bajariladigan hodisaga aytamiz. AA = 0 - mumkin boimagan hodisa ekanligi ravshan. Agar AB —0 bo'lsa, A va В hodisalar birgalikda boimagan (yoki birgalikda bajarilmaydigan) hodisalar deyiladi. A va В hodisalarning A В ayirmasi deb, A hodisa bajarilib, В hodisa bajarilmaganda va faqat shundagina bajariladigan hodisaga aytiladi. Agar A hodisaning ro‘y berishidan В hodisaning ham ro‘y berishi kelib chiqsa, u holda A hodisa В hodisani ergashtiradi deymiz va buni А с В koiinishda yozamiz. Agar Ac: В va В cc A boisa, u holda A va В hodisalar teng kuchli yoki teng hodisalar deyiladi va A - В orqali yoziladi. Teng kuchli hodisalar bir xil elementar hodisalardan tashkil topgan ekanligiga ishonch hosil qilishimiz mumkin. 8-misol. Tajriba simmetrik bir jinsli tangani uch marta tashlashdan iborat boisin. Elementar hodisalar fazosi Q = {сО\,о)2,со3,со4,со5,а>в,со1,а>Л to‘plamdan iborat boiib, unda G>l=(ggg), ft>3 = (ggr), 7,<и3,2,а>г,со4,со5,со6,со1,со^ - kamida bir marta raqam tushish hodisasi, A B - 0 , A\B = A, A={col,o>s,iоь,(о7,а>Л - kamida ikkita raqam yoki birorta ham raqam tushmaslik hodisasidan iborat. 9-misol. Tajriba birlik kvadratga tavakkaliga zarracha tashlashdan iborat boisin. A tashlangan zarrachaning doiraga tushishi, В esa tashlangan zarrachaning kichik kvadratga tushishi hodisalari boisa, u holda A+B, AB, A\B va A hodisalar zarrachaning mos ravishda A va В figuralaming birlashmasi, kesishmasi, ayirmasi va birlik kvadratgacha toidirmasi orqali hosil qilingan ( 1-shaklda tegishli sohalar shtrixlangan) sohalarga tushishidan iborat. А* В АВ А\В А 1-shakl. Hodisalarning yigindisi va ko‘paytmasi amallarini ularning chekli yoki cheksiz to‘p!ami ^ Aa (У0к1 U Aa )> Y\Ao ( У0к' Г Н ^ a a a a uchun kengaytirish mumkin. To‘plamlar ustidagi amallarning barcha xossalari hodisalar uchun ham o‘rinlidir, masalan: Z i I-l- П-' Ik - A = n\A,n=0, a a a a A\B = A\AB = AB, A\(A\B)=AB, A c В => В с A, A+A = A, (A + B)C= AC+ ВС , (A n B )u С = (A u C )n (В и C ).