Mavzu. Chiziqli tenglamalar sistemasi. 4-ma’ruza Reja

Mavzu. Chiziqli tenglamalar sistemasi.
4-ma’ruza
Reja:

1. 
   Chiziqli tenglamalar sistemasi umumiy ko’rinishi
   
2. 
   Chiziqli tenglamalar sistemasini Kramer usuli bilan yechish.
   
3. 
   Chiziqli tеnglаmаlаr sistеmаsini mаtrisаlаr yordаmidа yechish.
   
4. 
   Chiziqli tenglamalar sistemasini Gauss usuli bilan yechish
   

Tayanch so’z va iboralar: Chiziqli tenglama, Kramer, Gauss, Matritsa

Bizga n ta noma’lumli m ta chiziqli tenglamalar sistemasi berilgan bo’lsin:

(1)
Bu yerda lar noma’lumlar, orqali i-tenglamadagi noma’lum oldidagi koeffitsiyentini hamda shu tenglamaning ozod hadini orqali belgilaymiz.
Ta’rif. Agar biror sonlar sistemasi berilgan (1) chiziqli tenglamalar sistemasining har bir tenglamasini ayniyatga aylantirsa, u holda bu sonlar sistemasi (1) chiziqli tenglamalar sistemasining yechimi deb ataladi.
Umuman aytganda, chiziqli tenglamalar sistemasi yagona yechimga egaligi, yechimga ega bo’lmasligi, yoki cheksiz ko’p yechimga ega bo’lishi mumkin. Agar yechimga ega bo’lsa, bunday sistema birgalikdagi sistema, aksincha bo’lsa birgalikda bo’lmagan sistema deyiladi.
Agar birgalikdagi sistema yagona yechimga ega bo’lsa, u holda chiziqli tenglamalar sistemasi aniq sistema, agar cheksiz ko’p yechimga ega bo’lsa, bunday sistema aniqlanmagan sistema deyiladi.
Bizga ikki noma’lumli chiziqli tenglamalar sistemasi berilgan bo’lsin: (2)
Sistemadan x₁ o’zgaruvchini topish uchun sistemaning birinchi tenglamasini ga ikkinchi tenglamasini esa ga ko’paytirib, ularni qo’shsak, quyidagiga ega bo’lamiz:
.
Xuddi shu amalni x₂ o’zgaruvchini topish uchun ham qo’llaymiz va natijada
ni hosil qilamiz. So’ngra
(3)
deb faraz qilib,
, (4)
ni topamiz. Bundan ko’rinib turibdiki, agar ikki noma’lumli chiziqli tenglamalar sistemasining koeffitsiyentlaridan tuzilgan determinant noldan farqli bo’lsa, u holda (2) sistemaning yechimini quyidagi tartibda topamiz:
1) barcha noma’lumlarni kasr ko’rinishida ifodalash mumkin. Bu holda kasrlarning maxrajlari bir xil bo’lib, u (3) determinantga teng;
2) noma’lumning surati esa (3) determinantda i- ustunni, ya’ni qidirilayotgan noma’lumning koeffitsiyentlari ustuni (2) sistemaning ozod hadlaridan iborat ustun bilan almashtirishdan hosil bo’ladigan determinantdan iborat bo’ladi.
Bu keltirgan qoida ikki noma’lumli chiziqli tenglamalar sistemasini yechishning