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Dem Element c € M (gelessen : c aus M) ist demnach kein Element aus N
zugeordnet, und das Element 5 € N steht mit keinem Element aus M in Beziehung.
Man erhalt durch die gegebene
Zuordnung eine Menge f von geordneten Paaren:
f = {[a, 1]}, [b, 2] [b, 3], [d, 4] [e 4]
Eine solche Menge von geordneten Paaren, deren erste Glieder einer Menge M und
deren zweite Hlieder einer Menge N angehoren, heiB eine Abbildung aus M in N.
Vergleich
man die Menge f mit der aus M und N geblideten Produktmenge
(Kreuzmenge) M × N, die die Menge aller moglichen geordneten Paare ist,
deren
erste Glieder aus M und deren zweite Glieder aus N sind, so stellt man fest, dab M ×
N mehr Elemente als ƒ enthalt. Zum Beispiel die geordneten Paare [e, 1], [c, 3], [c,5],
[a,4] usw. Sind Elemente der Menge M × N, aber nicht der Menge
f. Demnach
bedeutet ,,
f ist eine Abbildung aus der Menge M in die Menge N”. daB
f eine
Teilmenge von M × N ist (
f C M × N).
Die Tatsachen, daB bei einer Abbildung weder alle Elemente der Menge M,
noch alle Elemente der Menge N in den geordneten Paaren aufzutreten brauchen (im
Beispiel fehlen c und 5), fuhrt zur Einfuhrung der Begriffe Definitionsbereich
(Urbildbereich, Argumenbereich) und Wertebereich (Wertevorrat, Bildbereich).
Der Definitionsbereich von
f (in Zeichen D (
f)) ist die Menge aller Elemente
x є M,
fur
die es ein Elemente y є N gibt, so daB [
x y] є
f.
Der Werteberreich von
f (in Zeiche W (
f)) ist die Menge aller Elemente
y є N, fur die
es ein Elemente
x є M gibt, so daB [
x,y] є
f.
9Im gegebenen Beispielist der Deginitionsbereich D (
f) = { a, b, d, e} und der
Wertebereich W (
f) = {1, 2, 3, 4}.
Entsprechend der obigen Definition einer Abbildung aus M in N definiert man noch
f ist Abbildung von M in N bedeutet, D (
f) = M;
f ist Abbildung von M auf N bedeutet, D (
f) = M;
f ist Abbildung von M auf N bedeutet, D (
f) = M und W (
f) = N;
in jedem Falle ist
f c M × N.
Ist [
x,y] є ƒ,so nennt man y ein Bild von
x bzw.
x ein Urbild von y bei der Abbildung
ƒ. Die Gesamtheit aller Bilder von
x bei der Abbilubg ƒ heiBt das volle Bild von
x
(bezeichnet mit ƒ (
x)) und die Menge aller Urbilder von y das volle Urbild von y. in
dem gewahlten Beispiel der Arbeiter und Maschine ist u.a. 4 ein Bild von d und 1
das Bild von
a. das volle Bild von
b, f (b), ist gleich der Menge {2 3}. Ein Urbild von
4 ist
e ein (in diesem Falle das einzige) Urbild von 1 ist
a. das volle Urbild von 4 ist
die Menge {
d, e}.
3.
FunktionenMit Hilfe des Abbildungsbegriffs definiert man den Begriff
“Funktion” Eine Funktion ƒ ist eine eindeutige Abbildung von M auf N.
Dabei ist M = D (ƒ) und N = W (ƒ).
Eine Funktion ordnet also jedem Element des definitionsbereichs genan ein Element
des Wertebereichs zu. Fur [
x, y]є ƒ schreibt man auch
y =
f (
x) da jetzt das volle Bild
von
x grundsatzlich nur ein Element
y UmfaBt. Es sei noch darauf hingewiesen, daB
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