Задача Хольмгрена (Дирихле t ) для уравнения

3.2.2. Решение обобщенной задачи Хольмгрена.
Пусть . Вырежем из области шар малого радиуса с центром в точке и оставнуюся часть обозначим через , а через сферу вырезанного шара. Используя формулу Грина (3.1.6), получим

где

Перейдем в равенстве (3.2.8) к пределу при . Предварительно преобразуем его левую часть

где

Рассмотрим интеграл

Запишем интеграл в виде

где

В интеграле перейдем к обобщенной сферической системе координат

где

Тогда будем иметь

где

Для вычисления интеграла сначала вычислим . Используя последовательно формулу разложения (1.2.5) для гипергеометрической функции и формулы и (1.1.10) для гипергеометрической функции , получаем

Далее, с учетом формулы (1.2.1), имеем

Теперь переходим к пределу в при . В силу (2.2.23) и (3.2.9) окончательно находим

Аналогично получаем

Таким образом, левая часть равенства (3.2.8) стала известной:

Теперь займемся правой частью равенства (3.2.8).
Рассмотрим интеграл

Поскольку на выполняются равенства и , то, с учетом формул (3.2.6) и (3.2.7), после нескольких преобразований найдем, что

Подставив теперь (3.2.10) и (3.2.11) в равенство (3.2.8), получим решение обобщенной задачи Хольмгрена с условиями (3.1.3) - (3.1.5) для уравнения (3.0.1) в явном виде

где


Отметим, что формула (3.2.12) в определенном смысле обобщает известную формулу Пуассона задачи Дирихле для уравнения Лапласа (см., напр., [108, с. 269], поэтому формула (3.2.12) называется сингулярной формулой Пуассона (или сингулярным аналогом формулы Пуассона), а выражение

- сингулярным ядром Пуассона (или сингулярным аналогом ядра Пуассона).