|
Ikkinchi tur egri chiziqli integrallarning xossalari
1 .
Agar
,
P x y
funksiya
AB
yoy bo’ylab integrallanuvchi bo’lsa,
,
,
AB
AB
kP x y dx
k
P x y dx
tenglik o’rinli.
2 .
Agar
1
,
P x y
va
2
,
P x y
funksiyalar
AB
yoy bo’ylab integrallanuvchi
bo’lsa,
1
2
1
2
,
,
,
,
AB
AB
AB
P x y
P x y dx
P x y dx
P x y dx
tenglik o’rinli.
3 .
(Additivlik xossasi)Agar
AB
yoy biror
C
nuqta orqali
AC
va
CB
yoylarga
ajratilgan bo’lib,
,
P x y
funksiya
AC
va
CB
yoylarning har biri bo’ylab
integrallanuvchi bo’lsa,
,
,
,
AB
CB
AC
P x y dx
P x y dx
P x y dx
tenglik o’rinli bo’ladi.
4 .
Agar
,
AB
P x y dx
egri chiziqli integral ham mavjud bo’lsa,
,
,
AB
BA
P x y dx
P x y dx
23
tenglik o’rinli bo’ladi.
5 .
Agar funksiya L yopiq kontur bo’ylab integrallanuvchi bo’lsa, u holda
,
L
P x y dx
U holda egri chiziqli integralning qiymati L konturdagi qaysi nuqtani boshlang’ich
nuqta (bu nuqta ham bo’ladi) deb olinishiga bog’liq emas.
Isboti.
A
va
1
A
lar teng bo’lmagan ixtiyoriy nuqtalar bo’lsin.
( 3-chizma)
A nuqtani boshlang’ich nuqta deb, egri chiziqli integralni ko’rsatilgan yo’nalish
bo’yicha hisoblasak
1
1
1
,
,
,
AmA nA
AmA
A nA
P x y dx
P x y dx
P x y dx
tenglikka ega bo’lamiz.
Agar nuqtani boshlang’ich nuqta deb hisoblasak, u holda
1
1
1
,
,
,
AnA mA
AnA
A mA
P x y dx
P x y dx
P x y dx
tenglikka ega bo’lamiz.
Bu tengliklarning o’ng tomonlari bir xil qo’shiluvchilardan iborat.Shuning
uchun chap tomonlari ham teng bo’ladi.Demak, xossa isbotlandi.
Ikkinchi tur egri chiziqli integrallarni hisoblash
24
Ikkinchi tur egri chiziqli integrallar ham asosan Riman integrallariga
keltirilib hisoblanadi:
'
,
,
AB
f x y dx
f
t
t
t dt
(0.15)
'
,
,
AB
f x y dy
f
t
t
t dt
(0.16)
'
'
,
,
,
,
AB
P x y dx Q x y dy
P
t
t
t
Q
t
t
t dt
(0.17)
Xususan
AB
egri chiziq
y
y x
a
x
b
tenglama bilan aniqlangan bo’lib,
y
y x
funksiya
,
a b
da hosilaga ega va uzluksiz bo’lsa (1.15)va (1.17) formulalar
quyidagi
,
,
b
a
AB
f x y dx
f x y x dx
(0.18)
'
,
,
,
,
b
AB
a
P x y dx Q x y dy
P x y x
Q x y x
y x dx
ko’rinishga keladi.
Shuningdek,
AB
egri chiziq
x
x y
c
y
d
tenglama bilan aniqlangan
bo’lib,
x y
funksiya
,
c d
oraliqda hosilaga ega va uzluksiz bo’lsa (1.16) va (1.17)
tenglamalar quyidagi
,
,
d
c
AB
f x y dy
f x y
y dy
(0.19)
'
,
,
,
,
d
AB
c
P x y dx Q x y dy
P x y
y x y
Q x y
y dy
(0.20)
ko’rinishga keladi.
25
Agar
,
P x y
va
,
Q x y
funksiyalar uchun
Q
P
x
y
Shart bajarilsa, u holda
,
,
P x y dx Q x y dy
ifoda biror
,
U x y
funksiyaning to’la
differensiali bo’ladi va
,
,
AB
P x y dx Q x y dy
integral integrallash yo’liga bog’liq bo’lmaydi, faqat
A
va
B
nuqtalarning
berilishi bilan birqiymatli aniqlanadi.To’la differensial bo’yicha funksiyaning o’zi
0
0
0
,
,
,
y
x
x
y
U x y
P t y dt
Q x t dt
C
formula bo’yicha topiladi.
Ikki karrali va egri chiziqli integrallarni bog’lovchi
,
,
D
D
Q
P
P x y dx Q x y dy
dxdy
x
y
(0.21)
formula Grin formulasi deyiladi.Grin formulasidan
D
sohaning yuzasini hisoblash
uchun ushbu
,
D
D
S
xdy
S
ydx
(0.22)
1
2
S
xdy
ydx
(0.23)
formulalar kelib chiqadi.
Egri chiziqli integrallarni hisoblashga oid misollar
1-masala.
Quyidagi integralni
2 cos ,
2sin , 0
x
t y
t
t
yarim aylana
bo’yicha hisoblang
26
.
L
ydl
Yechish.
Birinchi tur egri chiziqli integralni ta’rif yordamida hisoblash
uchun berilgan yarim aylanani
n
ta bo’laklarga bo’lib olamiz.(4-chizma)
(4-chizma)
0
1
2
2
2
2, 0 ,
2 cos
, 2 sin
,
2 cos
, 2 sin
,...,
A
A
A
A
n
n
n
n
1
1
1
2cos
, 2sin
,
2, 4 .
n
n
n
n
A
B
A
n
n
Berilgan yarim aylananing uzunligi
2
ga, demak har bir bo’lakchaning uzunligi
2
n
ga teng ekanligi ravshan.Endi
1
0,1, 2,...,
i
i
A A
i
bo’lakchalardagi ixtiyoriy
i
M
nuqtalar sifatida har bir bo’lakchaning boshidagi nuqtani olib integral yig’indini
tuzamiz.
1
0
1
2
2
2
2
2
0
2sin
2sin
... 2sin
n
i
i
i
n
f M
n
n
n
n
n
n
n
1
1
4
2
4
2
sin
sin
... sin
sin
sin
... sin
sin
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
27
1
1
sin
sin
4
2
2
sin
8
.
2
2
sin
sin
2
2
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
Demak,
max
0
1
1
sin
2
lim
lim 8
8.
2
sin
2
i
n
i
i
n
i
L
n
n
ydl
f M
n
n
2-masala.
Quyidagi integralni
2
1
y
x
parabolaning
0,1
A
va
2,5
B
nuqtalaridan o’tuvchi
AB
yoy bo’yicha hisoblang.
L
I
x
y dx
Yechish.
Ikkinchi tur egri chiziqli integralni hisoblash uchun
AB
yoyni
n
ta
bo’lakchalarga bo’lib olamiz (5-chizma)
0
1
2
3
2
2
2
2 4
4 16
6 36
0,1 ,
,
1 ,
,
1 ,
,
1 ,...,
A
A
A
A
A
n n
n n
n n
1
2
2
1 4
1
,
1 ,
2,5 .
n
n
n
n
A
B
A
n
n
Endi har bir
1
i
i
A A
bo’lakchalardagi ixtiyoriy
i
M
nuqta sifatida shu
bo’lakchaning boshidagi nuqtani olib integral yig’indi tuzamiz
1
2
2
0
2
2
4
2
4
16
2
1
1
1
...
n
i
i
i
f M
x
n
n
n
n
n
n
n
2
2
2
1
4
1
2
1
n
n
n
n
n
2
2
2
2
4
1 2 ...
1
1 4 ...
1
n
n
n
n
n
n
2
2
2
1
1 2
1
2
2
4
20
18
4
.
2
6
3
n n
n n
n
n
n
n
n
n
n
n
28
Demak,
2
1
2
max
0
0
20
18
4
20
lim
,
lim
.
3
3
i
n
i
i
i
x
n
i
L
n
n
I
x
y dx
f x y
x
n
Do'stlaringiz bilan baham: |
