Shturum-Liuvill masalasi xos son va xos funksiyalar

2) Issiqlik tarqalish tenglamasi
Bir jinsli tenglamani bir jinsli chegaraviy shartlar bilan yechamiz.
(2.3.14)
yechimni
(2.3.15)
ko‘rinishda izlaymiz. (2.3.15) ni (2.3.14) tenglamasiga etib qo‘yamiz:


shunday qilib topish uchun biz Shturm -Liuvill masalasini hosil qildik:
,
parametrning shu qiymatlarida tenglamaning trivial bo‘lmagan yechimlari mavjud bo‘ladi:
. (2.3.16)
2-tenglamaning yechimi:
(2.3.17)
endi ni topamiz.
(2.3.16), (2.3.17) tengliklarni (2.3.15) tenglikka etib qo‘yib quyidagini hosil qilamiz:
(2.3.18)
xususiy yechimni hosil qilamiz.
(2.3.19)
funksiya chegaraviy shartlarni qanoatlantiradi. Boshlang‘ich shartni ham qanoatlantirishini talab etamiz:
(2.3.20)
ya’ni - funksiya Furye koeffisiyentlari
(2.3.21)
Endi koeffisiyentlari (2.3.21) formula bilan aniqlanadigan (2.3.19) qatorni qaraymiz va bu qator (I) masalaning barcha shartlarini qanoatlantirishini qo‘rsatamiz.
Buning uchun (2.3.19) qator bilan aniqlanuvchi funksiya differensiallanuvchi bo‘lib, tenglamani sohada qanoatlantirishini va bu sohaning chegaralarida ( ) uzluksiz bo‘lishini ko‘rsatishimiz kerak.
Berilgan tenglama chiziqli bo‘lgani uchun superpozitsiya prinsipiga asosan xususiy yechimlardan iborat qator ham yechim bo‘ladi, agar u yaqinlashuvchi bo‘lsa, uni bo‘yicha ikki marta, bo‘yicha bir marta differensiallash mumkin. ( - ixtiyoriy yordamchi berilgan son) da xususiy hosilalarning va qatorlari ham tekis yaqinlashadi.
Haqiqatan,

faraz qilamiz, funksiya chegaralangan bo‘lsin, ya’ni .
U holda
chunki .
U vaqtda uchun.
Shunga o‘xshash: uchun.
Umuman: uchun.
- majoranta qatorning yaqinlashishini tekshiramiz, . Dalamber alomatiga asosan:
.
Bundan (2.3.19) qatorni sohada hadma-had differensiallash mumkin degan xulosa chiqadi. Superpozisiya prinsipidan foydalanib, bu qator berilgan tenglamani qanoatlantirishini isbotlash mumkin. Shu bilan da (2.3.19) qator yetarlihca marta differensiallanuvchi va berilgan tenglamani qanoatlantiradi.
Endi quyidagi masalani qaraylik:

aralash masalani yechish talab qilinsin. Dastlab, quyidagi bir jinsli tenglamani bir jinsli chegaraviy shartlar bilan yechamiz.

yechimni ko‘rinishda izlaymiz.

shunday qilib topish uchun biz Shturm -Liuvill masalasini hosil qildik:
,
parametrning shu qiymatlarida Shturm-Liuvill tenglamasining trivial bo‘lmagan yechimlari mavjud bo‘ladi: .
2-tenglamaning yechimi:

endi ni topamiz.
U vaqtda

xususiy yechim.
U holda

funksiya chegaraviy shartlarni qanoatlantiradi. Boshlang‘ich shartni ham qanoatlantirishini talab etamiz:
ya’ni - funksiya Fur’ye koeffisiyentlari .
Endi bir jinsli bo‘lmagan issiqlik o‘tkazuvchanlik tenglamasini nol boshlang‘ich va nol chegaraviy shartlar bilan qarab chiqaylik:

Bu masalaning yechimini xos qiymatlarga mos xos funksiyalarning, ya’ni funksiyalarning Furye qatori ko‘rinishida qidiramiz:
.
Agar funksiya topilsa, berilgan masala yechilgan bo‘ladi. funksiyani quyidagi qator ko‘rinishida qidiramiz:
, bu yerda .
Natijada :
.
Yoyilmadagi barcha koeffisiyentlar nolga teng bo‘lsa, bu tenglik o‘rinli bo‘ladi:

funksiya uchun boshlang‘ich shartdan foydalanib, funksiya uchun boshlang‘ich shartni olamiz: .
Demak, oddiy differensial tenglamaga qo‘yilgan Koshi masalasini hal qilamiz: .
Natijada izlanayotgan yechimni olamiz.
Endi ba’zi bir masalalarni qarab chiqamiz: