O’rta osiyoda matematika rivoji tarixidan 5-mashG’ulot. Al-xorazmiy va uning matematik merosi

px

q

x





2

 tenglama uchun Xorazmiy ikkita musbat ildiz 

yo bitta ildiz, yo ildizlar bo’lmasligini aniqlaydi, ya’ni bu tenglamaning ildizlarini 

topish uchun yuqoridagi qoida tatbiq etilsa bo’ladi: 

                 

                                             

q

p

p

x









2

)

2

(

2

 

Bu  holda  Xorazmiy, 

q

p



2

)

2

(

  bo’lganda  ikkita  musbat  ildiz  bo’lishini, 

q

p



2

)

2

(

    bo’lganda, bu  masalani  yechish  mumkin  zmas,  va 

q

p



2

)

2

(

  bo’lganda 

---

kvadratning  ildizi  ildizlar  sanog’ining  yarmiga  teng,  ya’ni   

2

p

x



  bo’ladi  deb 

yozadi.  

  

Bundan  keyin,  Xorazmiy  ikkinchi  darajali  tenglamalar  yechilishini  bayon 

etishda  geometrik  metodga  murojaat  qiladi.  Mashhur  grek  geometri  Yevklid 

o’zining «Asoslar» asarida algebraik ifodalarni, ular orasidagi amallarni kesmalar 

orqali  izohlagan,  ya’ni,  geometrik  algebra  dan  foydalangan  edi.  Xorazmiy  esa 

Yevklid  foydalangan  shakllardan  emas,  balki  boshqa  shakllardan  foydalanib,  2-

darajali tenglamalarni hal etishni o’z geometrik metodlari bilan izohlaydi. Masalan: 

39

10

2





x

x

, yoki umumiy holda 

c

bx

x





2

 

shakldagi tenglamani yechishni  quyidagicha  izohlaydi. 1-shaklda ko’rsatilgandek, 

ab

  kvadratni  olib,  uni 

2

x

    bilan  belgilaydi.  Bu  kvadratning  har  bir  tomoniga 

balandligi 

4

10

  bo’lgan  to’g’ri-  to’rtburchaklar  yasaydi:  bu  shaklning  qolgan 

burchaklarida kvadratlar yasalsa ularning tomonlari 

4

10

 dan bo’lib, hamma kvadrat 

yuzlarining yig’indisi 25 ni tashkil etadi.  

Shunday qilib, hosil qilingan katta kvadratning 10 tomoni  

x 



 

2

10

    ga  teng  bo’lib,  buning  kvadrati   

25

4

10

4

2





x

x

  yig’indidan,  yoki 

64

25

39

25

10

2











x

x

  dan  iborat,  ya’ni  katta  kvadratning  tomoni 

64



8 

bo’ladi. Demak, 

8

5





x

, bundan 

3



x

.  Demak, noma’lum x ni bunday ifodalash 

mumkin:  

39

25

64

2

10









x

  yoki   

39

)

4

10

(

4

2

10

2







x

 

Bundan:  

2

10

39

)

4

10

(

4

2





 

Agar bu formula 

c

bx

x





2

tenglama uchun tatbiq etilsa  

2

)

4

(

4

2

b

c

b





    yoki 

2

)

4

(

4

2

b

c

b

x







    bo’ladi 

  Xorazmiy  bunday 

39

10

2





x

x

tenglamani,  yana  boshqa  bir  («Gnomon» 

deb  atagan)  shakl  orqaln  tushuntiradi:  bunda    kvadrat,  ya’ni 

2

x

  olinadi,  ikkita 

balandligi 5 ra teng to’g’ri to’rtburchak yasaladi. Bu shaklni  kvadratga to’ldirish 

uchun  tomoni    5  bo’lgan  kvadrat  oladi.  Katta  kvadratning  yuzi  -  8  ga  teng  8  ta 

kvadratning yuzi  

64

25

39

25

10

2











x

x

 bo’ladi. 

Yuqorida  aytilganidek,  Xorazmiy  kvadrat  tenglamalarni  yechishda  hosil 

bo’ladigan  manfiy  ildizlarni    olmaydi.  Shuni  qayd  etish    kerakki,  Xorazmiy 

asarlarida son tushunchasi, grek matematiklariga qaraganda ancha keng miqyosda 

qo’llaniladi, ya’ni uning asarlarida irrasional sonlar tushunchasi ham bor.  

Shunday  qilib,  hozirgi  belgilashlarga  asosan

0

2







c

bx

x

  shaklida 

yoziladigan kvadrat tenglamaning ildizlarini topish formulasi:  

---

c

b

b

x









2

)

2

(

2

 

 birinchi  marta    Xorazmiy  asarlarida  uchraydi.  Bunda  u 

2

)

2

(

b

c



  bo’lgan  holda, 

masalaning yechilishi mumkin emas deb yozadi.  

Xorazmny algebraik asarining II bo’limi geometriyaga bag’ishlangan bo’lib, 

bunda shakllarni o’lchash qoidalari va algebraning ba’zi bir geometrik masalalarga 

tatbiqi ko’rsatiladi.  

Xorazmiy  uchburchaklar,  to’rtburchaklar  va  aylanani  ko’rib  chiqadi.  U, 

uchburchaklarni to’g’ri burchakli, o’tkir burchakli va o’tmas burchaklilarga bo’lib, 

bu hollarni aniqlash maqsadida uchburchak katta tomonining kvadrati bilan qolgan 

ikki tomoni kvadratlari yig’indisi orasidagi munosabatdan foydalandi.  

Xorazmiy  Pifagor  teoremasini  xususiy  holda  teng  yonli  uchburchak  uchun 

isbotladi.  To’rtburchaklarning  besh  xil  shaklda  bo’lishini  yozdi.  Rombning  yuzi 

uning diagonallari yoki bir diagonali va bir tomoni orqali ifodalanishi mumkinligini 

yozdi.  

Bu asarda teng tomonli uchburchakning yuzi, teng yonli uchburchakka ichki 

chizilgan kvadrat tomonini aniqlash va tomonlari 13, 14, 15 bo’lgan o’tkir burchakli 

uchburchak  yuzini  aniqlash  kabi  masalalar  bor.  Bu  masalalarning  berilishi  va 

ularning yechilishida  grek va hind matematiklarining ta’siri borligi ko’rinadi. 

Xorazmiy 



sonining 

10

,

7

1

3

  qiymatlaridan, boshqa  62832 :20000 

qiymatini ham ko’rsatib, bu qiymatlarning taqribiy ekanligini uqtiradi. Muntazam 

ko’pburchakning  yuzini,  unga  ichki  chizilgan  doira  diametri  yarmi  bilan 

perimetrining yarmiga ko’paytmasi orqali aniqlaydi. Doiraning yuzini topish uchun 

quyidagi ifodalarni beradi: doira yuzi  S , diametri  d  va doira aylanasining uzunligi 

l bo’lsa:  

l

d

S









2

1

2

1

  va 

2

2

2

7

1

2

1

7

1

d

d

d

S











 

bunda 

7

1

3





 deb hisoblangan.  

Xorazmiy doira segmentining yuzini topish uchun quyidagi qoidalarni beradi 

:  

Agar  segment  yuzi  G ,  yoyi  S ,  vatar  uzunligi 

a ,  diametr  d ,  segment 

balandligini  h  deb belgilasak, yarim doiradan kichik segment uchun  

2

)

2

(

2

2

a

h

d

S

d

G











 

va yarim doiradan katta segment uchun S  

2

)

2

(

2

2

a

h

d

S

d

G











 

bunda 

h

h

a

d





4

2

 shaklida aniqlanadi.  

Xorazmiy  o’zining  bu  asarida,  jismlarning  hajmlarini  topish  uchun  ham 

qoidalar  berdi.  To’g’ri  prizma,  silindr,  piramida,  konus  hajmlarini  aniqlaydi. 

---

Berilgan  asoslari  kvadratlardan  iborat  va  balandligi  ma’lum  bo’lgan  kesik 

piramidaning hajmi aniqlanadi.  

Yuqorida  bayon  etilgan  masalalarni  o’z  ichiga  olgan  geometrik  bo’lim, 

turmush ehtiyojlarni o’tashga bog’liq ko’p masalalarni hal etishda kishilarga katta 

yordam bergan. Bu asardan qo’llanma sifatida foydalanganlar.  

Xorazmiyning boshqa bir qimmatbaho asari - «Arifmetika» faqat matematika 

tarixida emas, balki umuman fan va madaniyat tarixida ham juda katta ahamiyatga 

egadir.  By  kitob  orqali  o’nli  pozision  sanoq  sistemasi  yaqin  va  O’rta  Sharq 

mamlakatlariga,  Yevropaga  tarqala  boshlagan.  Bu  sanoq  sistemasi  o’sha  davrda 

hukm  surayotgan,  harfli  sanoq  sistemasi  va  rim  sanoq  sistemasiga  nisbatan  juda 

mukammallashgan  bo’lib,  turmush  ehhtiyojlari  uchun  tez  orada  qabul  qilina 

boshlagan progressiv sanoq sistemasi edi. Xorazmiyning bu asari asosida juda ko’p 

kitoblar  yozildi, bularda  Xorazmiyning  pozision  sanoq  sistemasini  tatbiq etishdan 

iborat progressiv ideyalari davom ettirildi, Xorazmiyning bu asari uning «al-jabr va 

al-muqobala  hisobi  haqida  qisqacha  kitob"  asaridan  keyin  yozilgan  bo’lib,  uning 

original  nusxasi  hozirgacha  topilmagan.  Bu  asarning  lotincha  tarjimasi  (XIV  asr 

qo’lyozmasi) Kembrij universitetida saqlanmoqda.  

Xorazmiy o’zining arifmetikasida hindlarning to’qqiz raqam 1, 2, 3, 4, 5, 6, 

7, 8, 9 va nol yordami, ya’ni o’nli pozision sistema bilan istalgan sonning oson va 

qisqacha  ifodalanishini  bayon  etish  maqsadida  ekanligini  yozadi.  Shuningdek,  bu 

kitobda arifmetikaga doir masalalarni- sonlarni ko’paytirish va bo’lish, qo’shish va 

ayirishni  bu  sistema  orqali  juda  osonlik  bilan  bajarish  mumkinligi  qayd  qilinadi. 

Xorazmiy avval sonlarning pozision sistemasini tushuntiradi, so’ngra butun sonlar 

va kasr sonlar ustida amallar bajarish qoidalarini va, nihoyat, kvadrat ildiz chiqarish 

qoidalarini  bayon  etadi.  Yevropada  bungacha  rim  raqamlari  ishlatilar  ediki,  bu 

raqamlar o’zining murakkabligi bilan noqulay edi. Sharqda esa raqamlarni so’zlar 

yoki harflar bilan ifodalardilar, VIII asrning 70-yillaridan hind raqamlari astronomik 

jadvallar bilan bir qatorda Bag’dod va boshqa Sharq mamlakatlariga kira boshladi. 

Yarim  asrdan  keyin  esa  o’nlik  pozision  sistema  boshqa  xalqlarga  ma’lum  bo’la 

boshladi.  

By  sohada  mashhur  olim  Xorazmiyning  jahon  fani  va  madaniyati  oldida 

buyuk  xizmati  shuki,  boshqa  xalqlar  hindlarning  o’nlik  pozision  sistemasi  bilan 

uning asarlari orqali tanishdilar. Xorazmiyning bu asari XII  asrda Iogann Sevilskiy 

tomonidan  lotin  tiliga  tarjima  qilindi.  Mana  shu  asrdan  boshlab  o’nlik  pozision 

sistema Yevropa xalqlariga tarqala boshlaydi.  

Xorazmiyning arifmetikasi matematika tarixida- sanoq sistemasi tarixida — 

umuman, fan va madaniyat sohasida yangi davr ochdi. Xorazmiy Bag’dod shahrida 

bir necha yillar bo’lib, undagi observatoriyada kuzatishlar olib bordi. IX asrning 20-

yillarida  u,,Zij"  («astronomik  jadvallar")  ni  tuzib  chiqdi.  Bular  arab  tilidan  lotin 

tiliga  tarjima  qilinib,  ikki  asrdan  ortiq  davr  ichida  turmush  ehtiyojlari  uchun 

foydalanildi.  Xorazmiyning  bu  asari  original  nusxada  bizgacha  yetib  kelmagan. 

1007 yili ispaniyalik Maslam al-Majriti bu jadvallarni qayta ishlab chiqadi. Mana 

shu Zijning 1126 yilda yozilgan lotin tiliga tarjimasi hozirgacha saqlangan. «Zij» 

asarining  bu  qayta  ishlangan  nusxasi  uzoq  vaqt  davomida  Sharqda  va  G’arbda 

---

astronomiya fanidan asosiy qo’llanma hisoblanib keldi. Xorazmiy «Astrolyabiya» 

(«Asturlob») va  «Quyosh soati» haqida ham asarlar yozgan.  

Xorazmiy  aniq  astronomik  jadvallar  tuzish  bilan  bir  qatorda  Bag’dod 

observatoriyasida olib boriladigan turli astronomik va geografik kuzatishlarda  aktiv 

ishtirok  etdi.  Bu  sohada  Xorazmiy  O’rta  Osiyolik  mashhur  astronom  va 

matematiklardan  Muhammad  ibn  Kasir,  al-Farg’oniy,  Ahmad  Marvoziy  va 

boshqalar bilan ish olib bordi.  

Xorazmiy  meridian  yoyi  uzunligini  hisoblash  ishlariga  ham  rahbarlik  qildi, 

o’lchash  ishlari  Tadmor  (Damashqdan  shimol  tomonda)  bilan  ar-Rak  hududlari  

orasida olib borilgan.  

Meridian  yoyini  hisoblashda  o’sha  zamon  uchun  aniq  qiymatlar  topilgan. 

Xorazmiy  rahbarligida  meridianning  bir  gradusli  yoyi  uzunligini  qayta-qayta 

o’lchash  vositasida  111  815  m  ekanligi  topilganki,  bu  meridian  gradusi  yoyiiing 

haqiqiy uzunligidan faqat 977 m farq qiladi.