Navoiy davlat pedagogika instituti fizika matematika fakulteti

MAVZU. MULOHAZALAR ALGEBRASIDA AKSIOMATIK USUL. MULOHAZALAR HISOBINI TUZISH. GIPOTEZALARDAN KELTIRIB CHIQARISH.

ℑ₁, . . . , ℑ_n ( 1 ) formulalar ro‘yxati berilgan bo‘lsin . ℬ formulaning YUqorida keltirilgan ro‘yxatdan keltirib chiqarilishi tushunchasini kiritamiz. ( 1 ) rûyxatni gipotezalar yoki farazlar rûyxati deb ataymiz.

.3.1 - ta’rif. ℑ₁, . . . , ℑ_n ( 1 ) gipotezalar berilgan bo‘lsin.

1. 
   Har bir ℑ_i (i = 1, n) formula ( 1 ) rûyxatdan keltirib chiqariluvchi formuladir.
   
2. 
   Mulohazalar hisobining har qanday keltirib chiqariluvchi formulasi (1) rûyxatdan keltirib chiqariluvchi formuladir.
   
3. 
   Agar ℑ , ℑ Þ ℬ formulalar ( 1 ) rûyxatdan keltirib chiqariluvchi formulalar bo‘lsalar, ℬ formula ham
   

( 1 ) rûyxatdan keltirib chiqariluvchi formuladir.

Agar ( 1 ) rûyxat mulohazalar hisobining keltirib chiqariluvchi formulalaridan iborat bo‘lsa, u holda (1) – rûyxatdan keltirib chiqariluvchi formulalar sinfi mulohazalar hisobining keltirib chiqaruvchi formulalari sinfi bilan bir ùil bo‘lad

Agar ( 1 ) rûyxatdan ℬ formula keltirib chiqariluvchi formula bo‘lsa,

ℑ₁, . . . , ℑ_n ⊢ℬ ko‘rinishda yozamiz. ( 1 ) rûyxat bo‘sh to‘plam bo‘lsa, ⊢ ℬ mulohazalar hisobng keltirib chiqariluvchi formulasi hosil bo‘lad

.3.2 - Deduksiya teoremas Agar ℑ₁, . . . ,ℑ_n ( 1 ) rûyxatdan ℬ formula keltirib chiqarilsa, u holda

ℑ₁ Þ ( ℑ₂ Þ ( . . . ( ℑ_n Þ ℬ ) . . . )) formula mulohazalar hisobining keltirib chiqariluvchi formulasidir.

Avval ℑ₁, . . . , ℑ_n ⊢ ℬ bo‘lsa, ℑ₁, . . . , ℑ_n-1 ⊢ ℑ_n ⊢ ℬ ekanligini isbot qilamiz.

Isbotni matematik induksiya usuli bilan olib boramiz.

Faraz qilaylik, ℬ mulohazalar hisobining keltirib chiqariluvchi formulasi bo‘lsin. U holda .2.6 teoremaga asosan iùtiyoriy ℑ formula uchun ⊢ℑ Þ ℬ ùususan, ⊢ ℑ_nÞ ℬ. Demak, ℑ₁, . . . , ℑ_n-1 ⊢ ℑ_n Þ ℬ.

Endi, ℬ formula ℑ₁, . . . , ℑ_n formulalardan biri bo‘lsin. Aniqik uchun ℬ formula ℑ_i ( i ∊ { 1, . . . , n } ) formuladan iborat bo‘lsin. U holda, I ₁ aksiomaga kûra

⊢ ℑ_i Þ ( V Þ ℑ_i ) . B ni ℑ_n bilan almashtirsak

⊢ ℑ_i Þ ( ℑ_n Þ ℑ_i ) . Hosil bo‘lgan formula mulohazalar hisobining keltirib chiqariluvchi formulasi bo‘lganligi sababli ℑ₁, . . . , ℑ_n rûyxatdan keltirib chiqariluvchi formuladir. ℑ_i formula esa rûyxatda bor, demak, u ham berilgan rûyxatdan keltirib chiqariluvchi formula bo‘lad Bundan, MR qoidaga ko‘ra ℑ_n Þ ℑ_i ham berilgan ro‘yxatdan keltirib chiqariluvchi formuladir, ya’ni ℑ₁ , . . . , ℑ_n-1 ⊢

⊢ ℑ_n Þ ℑ_i . Endi, faraz qilaylik, ℑ, ℑ Þ ℬ formulalar uchun tasdiq tû\ri bo‘lsin, ya’ni ℑ₁, . . . , ℑ_n-1 ⊢ ℑ_n Þ ℑ va

ℑ₁, . . . , ℑ_n-1 ⊢ ℑ_n Þ ( ℑ Þ ℬ ) bo‘lsin. U holda ℑ₁, . . . , ℑ_n-1 ⊢

⊢ ℑ_n Þ ℬ bo‘lishini isbot qilamiz. 2 aksiomada A ni ℑ_n bilan, V ni ℑ bilan, S ni ℬ bilan almashtirsak,

⊢ ( ℑ_n Þ ( ℑ Þ ℬ )) Þ (( ℑ_n Þ ℑ ) Þ ( ℑ_n Þ ℬ ))

hosil bo‘lad MR qoidani ikki marta qo‘lllasak

ℑ₁, . . . , ℑ_n-1 ⊢ ℑ_n Þ ℬ ga ega bo‘lamiz. SHunday qilib,

ℑ₁, . . . , ℑ_n ⊢ ℬ bo‘lsa, u holda ℑ₁, . . . , ℑ_n-1 ⊢ ℑ_n Þ ℬ bo‘lishini isbot qildik. Bu tasdiqni hosil bo‘lgan ifodaga yana bir marta qo‘lllasak ℑ₁, . . . , ℑ_n-2 ⊢ ℑ_n-1 Þ ( ℑ_n Þ ℬ ) hosil bo‘lad CHekli =adamdan sûng

⊢ ℑ₁Þ ( ℑ₂ Þ ( . . . ( ℑ_n Þ ℬ ) . . . ) hosil bo‘lad

.3.3 - natija. n = 1 bo‘lganda deduksiya teoremasidan,

ℑ ⊢ ℬ bo‘lsa, ⊢ ℑ Þ ℬ ekanligi kelib chiqad