N. P. Rasulov, I. I. Safarov, R. T. Muxitdinov

5.2. Aniq integralning ta’rifi va mavjudlik sharti. Berilgan y=f(x) funksiya [а, b] kesmada aniqlangan bo‘lsin. Bu kesmani ixtiyoriy

a=х₀<х₁ х₂ … х_i  … х_n–1  х_n =b

bo‘linish nuqtalari yordamida n ta

[х₀, х₁], [х₁, х₂], …, [х_i–1, х_i], …, [х_n–1, х_n]

kichik kesmachalarga ajratamiz. Hosil bo‘lgan har bir [х_i–1, х_i] (i=1, 2, 3, …, n) kichik kesmachalardan ixtiyoriy bir _i nuqtani tanlaymiz. Tanlangan _i nuqtalarda berilgan f (x) funksiyaning f(_i) (i=1, 2, 3, …, n) qiymatlarini va [х_i–1, х_i] kesmachalarning х_i–х_i–1=х_i (i=1, 2, 3, …, n) uzunliklarini hisoblaymiz. Bu qiymatlaridan foydalanib ushbu yig‘indini tuzamiz:

(10)

2-TA’RIF: (10) tenglik bilan aniqlanadigan S_n(f) yig‘indi y=f(x) funksiya uchun [a,b] kesma bo‘yicha integral yig‘indi deb ataladi.

S_n( f ) integral yig‘indi ta’rifidan ko‘rinadiki uning qiymati [х_i–1, х_i] kichik kesmachalar uzunligi х_i , ularning soni n va tanlangan _i nuqtalarga bog‘liq bo‘ladi. belgilash kiritamiz.

3-TA’RIF: Agar S_n( f ) integral yig‘indilar ketma-ketligi n→∞ va Δ_n→0 bo‘lganda x_i bo‘linish nuqtalari hamda [х_i–1, х_i] kichik kesmachalardan olinadigan _i nuqtalarning tanlanishiga bog‘liq bo‘lmagan biror chekli S( f ) limitga ega bo‘lsa , bu limit qiymati S( f ) berilgan f(x) funksiyadan [a,b] kesma bo‘yicha olingan aniq integral deyiladi.

Berilgan f(x) funksiyadan [a,b] kesma bo‘yicha olingan aniq integral kabi belgilanadi va ta’rifga asosan quyidagicha aniqlanadi :

. (11)

Bu yerda а – aniq integralning quyi chegarasi, b – yuqori chegarasi, [a, b] –integrallash kesmasi, x–integrallash o‘zgaruvchisi, f(x) – integral ostidagi funksiya, f(x)dx – integral ostidagi ifoda deyiladi.

4-TA’RIF: Agar f(x) funksiyadan [a,b] kesma bo‘yicha olingan aniq integral mavjud bo‘lsa, unda f(x) bu kesmada intеgrallanuvchi funksiya dеb ataladi.

Izoh: Aniq integralning yuqorida keltirilgan ta’rifi olmoniyalik buyuk matematik Riman (1826–1866 y.) tomonidan taklif etilgan va shu sababli Riman integrali deb yuritiladi. Bundan tashqari aniq integralning Koshi, mashhur farang matematigi Lebeg (1875–1941 y.) va niderlandiyalik matematik Stilt’yes (1856–1894 y.) tomonlaridan kiritilgan ta’riflari ham mavjud va keng qo‘llaniladi.

Oldin ko‘rilgan masalalarga qaytsak, (3) va (11) tengliklarga asosan egri chiziqli trapetsiyaning yuzasi

,

(6) va (11) tengliklarga asosan o‘zgaruvchi kuch bajargan ish

,

(9) va (11) tengliklarga asosan ishlab chiqarilgan mahsulot hajmi

aniq integrallar orqali ifodalanishi kelib chiqadi. Bu tengliklarni aniq integralning gеomеtrik, mеxanik va iqtisodiy ma’nolari deb olishimiz mumkin.

Aniq integral ta’rifidan ko‘rinadiki, berilgan f(x) funksiya [a,b] kesmada integrallanuvchi bo‘lishi uchun ancha og‘ir shartlarni qanoatlantirishi kerak. Haqiqatan ham, qaralayotgan [a,b] kesmani bo‘linish nuqtalari x_i (i=1,2, ∙∙∙, n) va [х_i–1, х_i] kesmalardan tanlanadigan _i nuqtalar qanday bo‘lmasin aniq integralni ifodalovchi (11) limit qiymati S(f) bir xil bo‘lishi kerak. Bu esa har qanday funksiya uchun bajarilavermaydi. Masalan, [0,1] kesmada aniqlangan D(x) Dirixle funksiyasi (VII bob, §3) uchun integral yig‘indini qaraymiz. Agar [х_i–1, х_i] kesmachalardan olinadigan _i nuqtalar ratsional sonlarni ifodalasa, unda D(_i)=1 va integral yig‘indi

;

agar _i nuqtalar irratsional sonlarni ifodalasa, unda D(_i)=0 va integral yig‘indi

bo‘ladi. Bu yerdan ko‘rinadiki, n→∞ bo‘lganda S_n(f) integral yig‘indi limitining qiymati _i nuqtalarning tanlanishiga bog‘liq. Bundan esa D(x) funksiya [0,1] kesmada integrallanuvchi emasligi kelib chiqadi.

Shu sababli (11) limitni, ya’ni integralni qaysi shartda mavjud bo‘lishini aniqlashimiz kerak. Bu savolga javob isbotsiz beriladigan ushbu teoremalarda keltiriladi.

1-TEOREMA: Berilgan [a,b] kesmada chegaralangan va unda chekli sondagi uzilish nuqtalariga ega bo‘lgan f(x) funksiya shu kesmada integrallanuvchi bo‘ladi.

NATIJA: Berilgan [a,b] kesmada uzluksiz bo‘lgan f(x) funksiya shu kesmada integrallanuvchi bo‘ladi.

Haqiqatan ham, Veyershtrass teoremasiga asosan (VI bob, §4) [a,b] kesmada uzluksiz f(x) funksiya shu kesmada chegaralangan bo‘lib, oldingi teorema shartlarini qanoatlantiradi va shu sababli bu kesmada integrallanuvchidir.

Bu tasdiqlardan funksiyalarning nisbatan keng sinfi uchun ularning aniq integrallari mavjud ekanligini ko‘ramiz. Aniq integrallarning qiymatini topish (integralni hisoblash) masalasini kelgusiga qoldirib, bu masalani yechish uchun kerak bo‘ladigan aniq integralning xossalari bilan tanishamiz.