N. P. Rasulov, I. I. Safarov, R. T. Muxitdinov

Isbot: Bu xossani qat’iy matematik isbotini keltirmasdan, uni integralning

geometrik mazmuniga asoslangan (71-rasmga qarang) talqinini keltirish bilan chegaralanamiz.

71-rasm

(18) tenglikning o‘ng tomonidagi birinchi integral y=f(x) funksiya grafigi orqali hosil qilingan aACc egri chiziqli trapetsiyaning S₁ yuzasini, ikkinchi integral cCBb egri chiziqli trapetsiyaning S₂ yuzasini ifodalaydi. (18) tenglikning chap tomondagi integral esa y=f(x) funksiya grafigi orqali hosil qilingan aABb egri chiziqli trapetsiyaning S yuzasini ifodalaydi. Bu yerda S=S₁+S₂ tenglik o‘rinli va uni integrallar orqali ifodalab, (18) tenglikni hosil etamiz.

Izoh: III xossani ifodalovchi (18) tenglik c<a va c>b holda ham o‘rinli bo‘ladi. Masalan, c>b holda a<b<c bo‘lgani uchun (18) tenglik yuqoridagi mulohazalar va (12) tenglikka asosan quyidagicha keltirib chiqariladi:



.

VI xossa: Har qanday [a,b] kesmada o‘zgarmas f(x)=1 funksiya integrallanuvchi va

(19)

tenglik o‘rinli bo‘ladi.

Isbot: Bu holda integral yig‘indida f(ξ_i)=1, Δx_i=x_i–x_i–1 (i=1,2,3,∙∙∙, n), x₀=a va x_n=b bo‘lgani uchun

Bu yerdan integral ta’rifi va limit xossasidan (19) tenglik kelib chiqadi:

.

Izoh: Integralning geometrik ma’nosiga ko‘ra (19) tenglikdagi aniq integral asosi [a,b] kesmadan iborat va balandligi f(x)=1 bo‘lgan to‘g‘ri to‘rtburchak yuzasini ifodalaydi va bu yuza S=1∙(b–a)= b–a ekanligidan ham (19) tenglikka ishonch hosil etish mumkin.

VII xossa: Agar [a,b] kesmada (a<b) integrallanuvchi y=f(x) funksiyaning shu kesmadagi eng kichik va eng katta qiymatlari mos ravishda m va M bo‘lsa, unda aniq integral uchun

(20)

qo‘sh tengsizlik o‘rinli bo‘ladi.

Isbot: Shartga asosan [a,b] kesmada m≤f(x)≤M bo‘lgani uchun IV xossa va (19) tenglikdan hamda I xossadan foydalanib, quyidagilarni olamiz:



.

Bu xossaning geometrik ma’nosi shundan iboratki (72-rasmga qarang), [a,b] kesmada y=f(x) funksiya grafigi orqali hosil qilingan aABb egri chiziqli trapetsiyaning yuzasi asoslari b–a, balandliklari esa mos ravishda m va M bo‘lgan

aA₁B₁b va aA₂B₂b to‘g‘ri to‘rtburchaklar yuzalari orasida joylashgan bo‘ladi .



VIII xossa: Agar ‌|f(x)| funksiya [a,b] kesmada integrallanuvchi bo‘lsa, unda f(x) funksiya ham bu kesmada integrallanuvchi va quyidagi tengsizlik o‘rinli bo‘ladi:

(21)

Isbot: ‌ – |f(x)|≤ f(x)≤|f(x)| qo‘sh tengsizlikni hadlab integrallab, bu tasdiqqa quyidagicha erishamiz:

.

IX xossa(O‘rta qiymat haqidagi teorema): Agar f(x) funksiya [a,b] kesmada uzluksiz bo‘lsa, bu kesmada shunday ξ nuqta mavjudki, unda

(22)

tenglik o‘rinli bo‘ladi.

Isbot: Berilgan f(x) funksiya [a,b] kesmada uzluksiz bo‘lgani uchun, Veyershtrass teoremasiga asosan, u bu kesmada o‘zining eng kichik m va eng katta M qiymatlarini qabul etadi. Shu sababli bu funksiya uchun VII xossani ifodalovchi (20) qo‘sh tengsizlik o‘rinli va uni quyidagicha yozish mumkin:

.

Bu qo‘sh tengsizlik orasida turgan sonni μ deb belgilasak, unda kesmada uzluksiz funksiya xossasiga asosan (VI bob, §5, 5-teorema natijasi), [a,b] kesmada shunday ξ nuqta mavjudki, unda f(ξ)=μ bo‘ladi. Bu yerdan, belgilashimizga asosan,

ekanligi kelib chiqadi.

5-TA’RIF: (22) tenglik orqali aniqlanadigan

soni f(x) funksiyaning [a,b] kesmadagi o‘rta qiymati deb ataladi.

XULOSA

Juda ko‘p amaliy masalalarni yechish aniq integral tushunchasiga olib keladi. Masalan, geometriyada egri chiziqli trapetsiya yuzasini topish, fizikada o‘zgaruvchi kuch bajargan ishni hisoblash, iqtisodiyotda ishlab chiqarilgan mahsulot hajmini aniqlash kabi masalalar shular jumlasidandir. Aniq integral berilgan funksiya va kesma bo‘yicha tuziladigan integral yig‘indining limiti kabi aniqlanadi. Berilgan kesmada chegaralangan va faqat chekli sondagi uzilish nuqtalariga ega bo‘lgan funksiya uchun aniq integral mavjud bo‘ladi. Yuqorida ko‘rsatilgan masalalardan aniq integralning geometrik, mexanik va iqtisodiy ma’nolari kelib chiqadi. Aniq integral qiymatini hisoblash yoki baholash uchun uning bir qator xossalaridan foydalanish mumkin.

Tayanch iboralar

* Integral yig‘indi * Aniq integral * Integral ostidagi funksiya * Integral ostidagi ifoda * Integrallash o‘zgaruvchisi * Quyi chegara * Yuqori chegara * Integrallanuvchi funksiya * Integralning geometrik ma’nosi * Integralning mexanik ma’nosi * Integralning iqtisodiy ma’nosi * Funksiyaning o‘rta qiymati