N. P. Rasulov, I. I. Safarov, R. T. Muxitdinov

§5. ANIQ INTЕGRAL VA UNING XOSSALARI

• 
  Aniq integral tushunchasiga olib keluvchi masalalar.
  
• 
  Aniq integralning ta’rifi va mavjudlik sharti.
  
• 
  Aniq integralning xossalari.
  

5.1. Aniq integral tushunchasiga olib keluvchi masalalar. Bir qator matematik, fizik, mexanik va iqtisodiy masalalarni yechish uchun aniq integral tushunchasi juda katta ahamiyatga ega. Bu tushunchani kiritishdan oldin unga olib keladigan ayrim masalalarni qaraymiz.

• 
  Egri chiziqli trapetsiya yuzasini hisoblash masalasi. Turli geometrik shakllarning yuzalarini topish masalasi matematikaning eng qadimgi masalalaridan biri bo‘lib hisoblanadi. Qadimgi Vavilon va Misrda ko‘pburchaklarning yuzalarini hisoblay olganlar. Buyuk yunon olimi Arximed (miloddan oldingi 287-212 y.) parabola segmentining yuzasini hisoblashni bilgan.O‘rta Osiyolik yurtdoshlarimiz Beruniy va Al-Xorazmiy doira va doiraviy sektor yuzalarini topa olganlar. Ammo bu geometrik shaklarning yuzalari o‘ziga xos usullarda aniqlangan bo‘lib, ixtiyoriy geometrik shaklning yuzasini hisoblashga imkon beradigan umumiy usul ma’lum emas edi. Differensial va integral hisob yaratilgach bu masala geometrik shakllarning nisbatan keng sinfi uchun o‘z yechimini topdi.
  

1-TA’RIF: Berilgan у=(х) uzluksiz funksiya grafigi, х=а va х=b vertikal to‘g‘ri chiziqlar hamda OX o‘qi bilan chegaralangan geometrik shakl egri chiziqli trapetsiya dеb ataladi.

Quyidagi 70-rasmda ko‘rsatilgan aABb egri chiziqli trapetsiyaning S yuzasini topish masalasini qaraymiz.

70-rasm

Buning uchun dastlab aABb egri chiziqli trapetsiyaning asosini ifodalovchi [a,b] kesmani х₁ х₂ … х_i  …  х_n–1 bo‘lgan ixtiyoriy n–1 ta nuqta yordamida bo‘laklarga ajratamiz. Bu nuqtalarga а=х₀ vа b=х_n nuqtalarni birlashtirsak, [a,b] kesma ular orqali

[х₀, х₁] , [х₁, х₂] , … , [х_i-1, х_i] , …. , [х_n-1, х_n]

n ta kichik kesmachalarga bo‘linadi.

So‘ngra x_i , i=1,2, …, n–1 bo‘linish nuqtalaridan OY o‘qiga parallel to‘g‘ri chiziqlar o‘tqazib, berilgan aABb egri chiziqli trapetsiyani n ta kichik egri chiziqli trapetsiyalarga (yuqoridagi 69-rasmga qarang) ajratamiz. Ravshanki aABb egri chiziqli trapetsiyaning S yuzasi n ta kichik egri chiziqli trapetsiyalarning yuzalari yig‘indisiga tеng bo‘ladi. Shu sababli, agar asosi [х_i-1, х_i] (i=1,2,3,…, n) bo‘lgan egri chiziqli kichik trapetsiyalarning yuzalarini S_i kabi belgilansa, quyidagi tеnglik o‘rinli bo‘ladi:

(1)

Bu yerda S_i (i=1,2, ... , n) ham egri chiziqli trapetsiyalarning yuzalari bo‘lgani uchun ularning aniq qiymatlarini topa olmaymiz. Bu yuzalarning taqribiy qiymatini aniqlash uchun [х_i–1, х_i] (i=1,2, ... , n) kesmalarning har biridan ixtiyoriy ravishda _i nuqtalarni tanlab olamiz. Tanlangan _i nuqtalarda AB egri chiziqni ifodalovchi y=f(x)>0 funksiyaning f(_i) qiymatlarini hisoblaymiz. Endi har bir S_i (i=1,2, ... , n) yuzalarni asoslari x_i=x_i–x_i–1 va balandliklari h_i= f(_i)>0 bo‘lgan to‘g‘ri to‘rtburchaklarning yuzalari bilan almashtirib, quyidagi taqribiy tengliklarga ega bo‘lamiz:

S₁  f(₁)x₁ , S₂  f(₂)x₂, …, S_i  f(_i)x_i , …, S_n  f(_n)x_n .

Bu taqribiy tengliklarni (1) yig‘indiga qo‘yib, berilgan aABb egri chiziqli trapetsiyaning izlanayotgan S yuzasi uchun ushbu taqribiy tenglikka ega bo‘lamiz:

. (2)

(2) taqribiy tenglikning geometrik ma’nosi shundan iboratki, biz hozircha hisoblay olmaydigan egri chiziqli trapetsiyaning S yuzasi to‘g‘ri to‘rtburchaklardan hosil qilingan pog‘onasimon shakl yuzasi bilan almashtirildi. Bunda bo‘laklar soni n qanchalik katta qilib olinsa, pog‘onasimon shaklning yuzasi egri chiziqli trapetsiyaning S yuzasini shunchalik darajada aniqroq ifodalaydi. Bu mulohazadan izlanayotgan S yuzaning aniq qiymati

(3)

limit bilan aniqlanishi mumkinligini ko‘ramiz.

• 
  O‘zgaruvchi kuch bajargan ishni hisoblash masalasi. Yo‘nalishi va kattaligi o‘zgarmas bo‘lgan kuch ta’sirida moddiy nuqta L to‘g‘ri chiziq bo‘ylab harakat qilayotgan bo‘lsin. Bunda kuch yo‘nalishi bilan moddiy nuqtaning harakat yo‘nalishi bir xil deb olamiz. Agar bu shartlarda kattaligi f bo‘lgan kuch ta’sirida moddiy nuqta L to‘g‘ri chiziq bo‘ylab a nuqtadan b nuqtaga ko‘chirilsa, ya’ni b–a masofaga siljigan bo‘lsa, unda bajarilgan ish A=f∙( b–a) formula bilan aniqlanishi bizga maktab fizika kursidan ma’lum.
  

Endi yuqoridagi shartlardan kuch kattaligi o‘zgarmas degan shartdan voz

kechib, u harakatning har bir x nuqtasida biror uzluksiz f(x) funksiya bo‘yicha o‘zgarib boradigan umumiyroq holni qaraymiz. Bu holda kuch moddiy nuqtani [a,b] kesma bo‘yicha harakatlantirganda bajarilgan A ishni hisoblash masalasi paydo bo‘ladi. Bu masalani yechish uchun moddiy nuqtani bosib o‘tgan yo‘lini ifodalovchi [a,b] kesmani oldingi masaladagi singari n ta bo‘laklarga ajratib, har bir [х_i–1, х_i] (i=1,2, ... , n) kichik kesmada o‘zgaruvchi kuchning bajargan ishini А_i deb belgilaymiz. Bu holda [а, b] kesmada bajarilgan umumiy A ish qiymatini

(4)

yig‘indi ko‘rinishida ifodalash mumkin. Bu yerda ham А_i ishning aniq qiymatini hisoblay olmaymiz. Ularning taqribiy qiymatlarini hisoblash uchun [х_i-1, х_i] kesmachalarning har biridan ixtiyoriy _i nuqtani tanlab olamiz va unda kuchning f(_i) qiymatini hisoblaymiz. Uzunligi x_i=x_i–x_i–1 bo‘lgan bu kichik kesmada kuch kattaligi o‘zgarmas va f(_i) deb hisoblab, ushbu taqribiy tengliklarni yoza olamiz:

А₁  f(₁)∙ х₁ , А₂  f(₂)∙ х₂ , …, А_i  f(_i)∙ х_i , …, А_n  f(_n)∙ х_n .

Bularni (4) yig‘indiga qo‘yib, izlanayotgan A ishning taqribiy qiymatini topamiz:

. (5)

Bu yerda ham [х_i-1, х_i] bo‘laklar soni n oshib borgan sari (5) taqribiy tenglik xatoligi tobora kamayib boradi deb kutish mumkin. Shu sababli A ishning aniq qiymati

(6)

limit orqali ifodalanadi.

• 
  Mahsulot hajmini topish masalasi. Agar ish kuni davomida mehnat unumdorligi o‘zgarmas, ya’ni ixtiyoriy t vaqtda uning kattaligi f bo‘lsa, unda
  

(T₁,T₂) vaqt oralig‘ida ishlab chiqarilgan mahsulot hajmi V=f∙( T₂ –T₁) formula bilan hisoblanadi. Masalan, sozlangan avtomatik qurilma uchun bu holni o‘rinli deb olish mumkin.

Ammo ishchining mehnat unumdorligi to‘g‘risida bunday deb bo‘lmaydi. Masalan, ish kunining boshlang‘ich davrida (ishga ko‘nikish) uning mehnat unumdorligi ma’lum bir vaqtgacha o‘sib boradi. So‘ngra, ishga kirishib ketgandan keyin, ma’lum bir vaqt oralig‘ida bir xil unumdorlik bilan mahsulot ishlab chiqaradi. Ish kuni oxiriga yaqinlashgan sari, charchash tufayli, mehnat unumdorligi pasayib boradi. Shunday qilib mehnat unumdorligi o‘zgaruvchan va t vaqtga bog‘liq ravishda biror uzluksiz f(t) funksiya orqali aniqlangan bo‘ladi. Bu holda (T₁,T₂) vaqt oralig‘ida ishlab chiqarilgan mahsulot hajmi V uchun yuqoridagi formula o‘rinli bo‘lmasligi ravshandir va uni topish masalasi paydo bo‘ladi. Bu masala ham oldingi masalalardagi mulohazalar asosida quyidagicha yechiladi. (T₁,T₂) vaqt oralig‘ini ixtiyoriy ravishda tanlangan

T₁=t₀< t₁< t₂< ∙∙∙ t_i<∙∙∙ t_n–1< t_n=T₂

nuqtalar bilan n ta (t_i–1, t_i) (i=1,2,3, ∙∙∙ , n) vaqt oraliqchalariga bo‘laklaymiz. Bu

vaqt oraliqchalarida ishlab chiqarilgan mahsulot hajmini ΔV_i (i=1,2,3, ∙∙∙ , n) deb belgilasak, unda butun vaqt oralig‘ida ishlab chiqarilgan mahsulot hajmi

(7)

yig‘indi kabi ifodalanadi. Bu yig‘indidagi qo‘shiluvchilarning taqribiy qiymatlarini topish maqsadida (t_i–1, t_i) (i=1,2,3, ∙∙∙ , n) vaqt oraliqchalaridan ixtiyoriy bir _i vaqtni tanlab olamiz va unda f(_i) mehnat unumdorligini aniqlaymiz. Kichkina (t_i–1, t_i) oraliqda uzluksiz f(t) funksiya o‘z qiymatini unchalik ko‘p o‘zgartira olmaydi va shu sababli bu yerda mehnat unumdorligini o‘zgarmas va uning qiymati f(_i) deb olishimiz mumkin. Shu sababli Δt_i= t_i– t_i–1 vaqt ichida ishlab chiqarilgan mahsulot hajmi uchun

ΔV_i ≈ f(_i)∙Δt_i , i=1,2,3, ∙∙∙ , n,

taqribiy tengliklarni yozish mumkin. Bu taqribiy tengliklarni (7) yig‘indiga qo‘yib,

(8)

taqribiy natijaga ega bo‘lamiz. Bu holda mahsulot hajmining aniq qiymati

(9)

limit orqali topiladi.

Yuqoridagi geometrik, fizik va iqtisodiy mazmunli uchta turli masala bir xil matematik usulda o‘z yechimini topib, (3), (6) va (9) ko‘rinishdagi bir xil limit orqali ifodalandi. Shu sababli bu usul va limitni umumiy holda qarash ma’noga egadir.