Mundarija kirish II. Asosiy qism

Ta'rif . Evklid geometriyasi tuzilmalar nazariyasi deb ataladi .
Uning teoremalari Veylning I - V aksiomalaridan mantiqiy ayirmalar yordamida olinadi. Keling - Evklid uch o'lchovli fazo, M - E ₃ fazodagi ixtiyoriy nuqta _. V ₃ fazoning ortonormal asosining O E ₃ nuqtasi va , vektorlari to’plami dekart to’rtburchaklar koordinatalar sistemasi (O , ) deyiladi . V ₃ vektorini bazaviy vektorlar nuqtai nazaridan kengaytirib, biz quyidagilarni olamiz: \u003d x ₁ + x ₂ + x₃ , bu erda x₁, x₂, x₃ haqiqiy sonlar. M nuqtaga mos keladigan x₁, x₂, x₃ R sonlari bu nuqtaning dekart to'rtburchaklar koordinatalari, , , vektorlari koordinata vektorlari , O to'rtburchaklar koordinatalar sistemasining boshi deyiladi. Buni tekshirish oson, agar ( a₁, a₂, a₃) va ( v₁, v₂, v₃ ) A va B nuqtalarning to‘rtburchak koordinatalari bo‘lsa, ya’ni. agar =a₁ +a₂ +a₃ , =v₁ +v₂ +v₃ bo'lsa , u holda d ( A,V ), ta'rifi bo'yicha =(v₁-a₁) + (v₂-a₂) vektor uzunligiga teng bo'lgan masofa v₃-a₃) , formula bo’yicha hisoblanadi: d ( A, B )= .
Nolga teng bo'lmagan vektorlar orasidagi burchak va shartni qanoatlantiradigan s(0 s ) soni:
= .
Bunday sonning mavjudligi Koshi-Bunyakovskiy tengsizligidan kelib chiqadi: ( ) ² ( ) ² ( ) ² .
Yakkama-yakka xaritalash f : E E ' Evklid fazosining E ' Evklid fazosiga izomorfizm deyiladi , agar 1) f xaritalash uchun induksion xaritalash mavjud bo'lsa : V V ' ; 2) V ning V ' ga izomorf xaritasi .
V , V ' izomorfizm munosabati ekvivalentlik munosabati ekanligini tekshirish mumkin, ya'ni. u refleksiv, simmetrik va tranzitivdir. Keyinchalik har qanday ikkita Evklid fazosi bir-biriga izomorf ekanligi isbotlanadi.
Evklid vektor fazosi nazariyasining I - IV aksiomatikasi kategorik, ya'ni. agar , V vektorlar izomorfizm ostida ' , ' ga o'tsa , u holda + , l mos ravishda ' + ', l ' ga o'tadi; qo'shimcha ravishda = ' '. Weyl aksiomalarining I - V sistemasining kategoriyaliligini o'rnatamiz, ya'ni. E₃ va E₃' har qanday ikkita Evklid fazolarining izomorfizmini isbotlaylik . E₃ va E₃' evklid fazolarida O va O' ' ' to'rtburchaklar koordinata sistemalarini tanlaymiz va M(x₁, x₂, x₃) E₃ nuqtaning M' E₃ tasvirini hisobga olgan holda birinchi bo'shliqni ikkinchisiga ko'rsatamiz. ' , O' ' ' sistemasida M nuqta O sistemasidagi x₁, x₂, x₃ koordinatalariga ega bo'ladi : = x₁ + x₂ + x₃ , = x₁ ' + x₂ ' + x₃ '.
f xaritalash izomorfizmdir: f birma-bir xaritalash va chiziqli xaritalashni hosil qiladi : V ₃ V ₃' , bu har qanday ikkita vektorning skalyar ko'paytmasini saqlaydi. Faraz qilaylik, N ( y₁, y₂, y₃ ) at N ' = f ( N ) ga o'tadi , keyin = ( , bu erda = y₁ + y₂ + y₃ , = y₁ + y₂ + y₃ . Keyin har qanday vektorlar uchun , va , tenglik: = , ya'ni V ₃ ni izomorf tarzda V ₃' ga tushiradi , shuning uchun f E₃ va E₃ ' bo'shliqlar orasidagi izomorfizm bo'ladi .