Mundarija kirish II. Asosiy qism

5. Vektorlarning kechiktirish aksiomalari.
Bu aksiomalar guruhi vektorlarni kechiktirish ishini tavsiflaydi
s₄ : T T V , u ikki tartibli A,V T nuqtani s₄( A,V ) vektoriga moslashtiradi, bilan belgilanadi .
1. Har bir sobit nuqta uchun A T , xaritalash T V ,
qonun bilan belgilangan s₄ (A,V)= , yakkama-yakka
T nuqtalar to'plamini V dan vektorlar to'plamiga solishtirish .
2. Har qanday uch nuqta uchun A, B, C tenglik to'g'ri bo'ladi: + = .
I - V aksiomalarning ba'zi oqibatlari .
I - V guruhlarning aksiomalari Veyl aksiomatikasini chiqaradi. Bu aksiomalardan bunday teoremalar bevosita kelib chiqadi.
1-teorema .
Vektorlarning har qandayi ( A T ) V fazoning nol vektoridir .
Darhaqiqat, A, X T uchun tenglik to'g'ri: + = .
Chunki V fazoda har qanday vektor bo'lishi mumkin V , keyin vektor = .
2-teorema . = - .
Haqiqatan ham, uchburchak aksiomasida ( V , 2 ) S=A deb faraz qilsak: + = = , ya'ni. vektorlar va qarama-qarshiliklar.
3-teorema . Agar = bo'lsa , A va B nuqtalari mos keladi.
Uchburchak aksiomasiga ko'ra bizda: + = .Bundan tashqari, shart bo'yicha = va shuning uchun = bo'lishi berilgan . Bu shuni anglatadiki, = va aksioma ( V , 1 ) bo'yicha A va B nuqtalari mos keladi.
Veyl aksiomalari tizimining izchilligi .
Uch o'lchovli Evklid fazosining Veyl aksiomalari tizimining izchilligini haqiqiy sonlar nazariyasi izchilligi sharti bilan aniqlash mumkin. Shu maqsadda arifmetik deb ataladigan I - V aksiomalar tizimining modelini tuzamiz , chunki uning vektorlari va nuqtalari sonlar to'plamidir. X ₁ , x ₂ , x₃ uchta haqiqiy sondan iborat istalgan tartiblangan to‘plamni nuqta yoki vektor deb ataymiz . Belgilashni kiritamiz: ( x₁, x₂, x₃ )-nuqtalar,
–vektorlar, bunda x ₁ , x ₂ , x ₃ nuqtaning koordinatalari (mos ravishda vektor).
Vektorlarni qo'shish, ta'rifiga ko'ra, koordinatali ravishda amalga oshiriladi:
+ = .
Aksiomalarning talablari ( I , 1-4 ) keyin qondiriladi, buni tekshirish oson. Haqiqiy l sonni = vektoriga ko'paytirish deganda l sonni x ₁ , x ₂ , x ₃ raqamlarining har biriga odatiy ko'paytirish tushuniladi : l = . Shu tarzda aniqlangan ko'paytirish amali barcha aksiomalarni qanoatlantiradi ( II , 1-4). Aksiomalar ( III , 1-2 ) ham aniq o'rinli: vektorlar , , chiziqli mustaqil va fazoning asosini tashkil qiladi. Ikki vektorning skalyar ko'paytmasining ishini ham belgilashingiz mumkin. = , = ixtiyoriy vektorlar bo'lsin . Vektorlarning skalyar mahsuloti qiymat: = x₁y₁ + x₂y₂ + x₃y₃ . Shu tarzda aniqlangan operatsiya aksiomalar ( IV , 1-3) talablariga javob beradi. Kechiktiruvchi vektorlarning aksiomalarini ( V ,1-2) ko'rib chiqsak, u holda berilgan talqinda ularning amalga oshirilishi mumkinligini isbotlashimiz mumkin. A(a₁,a₂,a₃), V(v₁,v₂,v₃) : s(A,V) = = ni belgilash orqali s: T T V xaritalashni aniqlaymiz .
V .1 aksiomada aytilishicha, berilgan ixtiyoriy nuqta A(a₁,a₂,a₃) va berilgan vektor = uchun shunday V(v₁,v₂,v₃) nuqta borki, bu = . Keling, buni isbotlaylik. Haqiqatan ham, kerakli B nuqtasi quyidagi tartiblangan raqamlar to'plami bilan aniqlanadi: v₁=a₁+x₁, v₂=a₂+x₂, v₃=a₃+x₃.
V.2 aksiomasining to'g'riligini tekshirish mumkin , unga ko'ra A, B, C uchun + = . A(a₁,a₂,a₃) , B(c₁,c₂,c₃) , C(c₁,c₂,c₃) bo’lsin. Bundan kelib chiqadiki, = , = , = . To'g'ridan-to'g'ri tekshirish orqali biz vektor + = ekanligiga ishonch hosil qilamiz , ya'ni. vektorga teng .
I - V aksiomalar bajarildi, ya'ni muhim xulosa chiqariladi:
haqiqiy sonlar arifmetikasi mos kelsa, Evklid geometriyasining Veyl aksiomalari sistemasi mos keladi.
I - V aksiomalar uch o'lchovli Evklid fazosi deb ataladigan tuzilmalarni belgilaydi . Bu tuzilmalarning har birida ikkita asosiy toʻplam T , V va toʻrtta P ₁ - P ₄ munosabatlari mavjud boʻlib, ular Veyl I - V aksiomalarining talablarini qondiruvchi s₁, s₂, s₃, s₄ amallari bilan tavsiflanadi . Strukturalar ramziy ravishda quyidagicha yoziladi : = ( T , V , P ₁, P ₂, P ₃, P ₄ ) yoki = ( T , V , s₁, s₂, s₃, s₄ ).
Elementlar (nuqtalar) yig'indisi T , agar u I - IV aksiomalar bilan aniqlangan V vektorlar yig'indisi bilan birgalikda V aksiomalarning talablarini qondiradigan s₄ kechiktiruvchi vektorlarning ishlashiga imkon bersa, Evklid (nuqta) fazosi E₃ deyiladi . E ₃ bilan assotsiativ fazo deyiladi .