Maydonlar nazariyasi

Nabla operatori. Ikkinchi tartibli differensiallash amallari

Skalyar maydondan gradiyent olish amalini, vektor maydondan divergensiya va rotor

olish amallarini nabla (Gamelton) operatori deb ataladigan, quyidagi

∇= 𝑖𝜕/𝜕𝑥+𝑗𝜕/𝜕𝑦+𝑘𝜕/𝜕𝑧

simvolik vektor yordamida ifodalash mumkin. Aniqroq aytadigan bо’lsak,

∇φ = 𝑔𝑟𝑎𝑑𝜑, ∇𝑎 = 𝑑𝑖𝑣𝑎 , ∇𝑎 = 𝑟𝑜𝑡𝑎

Nabla-birinchidan, chiziqli differensiallash operatordir, ya’ni uning tadbiqi chiziqlilik

xossalariga ega hamda kо’paytmani differensiallash qonuniga bо’ysunadi. Ikkinchidan,

u vektor operatordir, ya’ni kо’p hollarda ga vektorlar algebrasi formulalarini tadbiq

qilish mumkin. Ammo, shuni unutmaslik lozimki , u yoki bu vektorni operator bilan

almashtirish natijasida hamma vaqt ham tо’g’ri munosabat hosil bо’lavermaydi. Masalan;

𝑎[𝑎 ∙ 𝑏] = 0 tenglikdagi 𝑏 vektor ∇ bilan almashtirilganda u tо’g’ri tenglik bо’lmay qoladi.

Shu sababli ga vektor sifatida qaralib , hosil qilinadigan har qanday formal operatsiyaning

tо’g’riligini tekshirib kо’rilishi lozim, ammo bir qator qoidalar mavjudki, operator

bilan ish kо’rilayotganda bu qoidalarga rioya qilinsa, tо’g’ri natijaga kelinadi. Shunday

qoidalardan ba’zilarni keltiramiz ;

a) ∇ bilan ish kо’rilayotganda differensiallash qoidalariga rioya qilish kerak,

b) Vektorlar algebrasi qoidalariga kо„ra almashtirish bajarilayotganda, ∇ kо’paytmadagi

oxirgi о„ringa tushib qolmasligi kerak. Kо’paytmadagi oxirgi о’rinda ta’sir

ettirilayotgan kо’paytuvchi, undan oldin esa turishi mumkin, operator ikki marta

ta’sir ettirilsa [∇ ∇ ]= 0 deb hisoblash lozim.

∇²= ∆=𝜕²𝜑/𝜕𝑥²+𝜕²𝜑/𝜕𝑦²+𝜕²𝜑/𝜕𝑧²

Laplas operatoridir. Agar 𝜑 −skalyar maydon bо„lsa,

∆𝜑 =𝜕²𝜑/𝜕𝑥²+𝜕²𝜑/𝜕𝑦²+𝜕²𝜑/𝜕𝑧²,

agar 𝑎 = 𝑃𝑖 + 𝑄𝑗 + 𝑅𝑘 − vektor maydon bо„lsa,

∆𝑎 = ∆𝑃𝑖 + ∆𝑄𝑗 + ∆𝑅𝑘

Ikki marta uzluksiz differensiallanuvchi skalyar va vektor maydo nlar uchun hammasi bо„lib 5 ta 2-tartibli differensiallash amallari

mavjud :

1.𝑑𝑖𝑣 𝑔𝑟𝑎𝑑𝜑 = ∆𝜑 ,

2. 𝑟𝑜𝑡 𝑔𝑟𝑎𝑑𝜑 = 0

3. 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑑𝑖𝑣 𝑎 = ∇(∇𝑎)

4. 𝑑𝑖𝑣 𝑟𝑜𝑡 𝑎 = 0

5. 𝑟𝑜𝑡 𝑟𝑜𝑡 𝑎 = 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑑𝑖𝑣 𝑎 − ∆𝑎 .

2. va 4. tengliklar 𝑔𝑟𝑎𝑑𝜑 𝑀 uyurmasiz maydon ekanini,

𝑟𝑜𝑡 𝑎 (𝑀) solenoidal maydon ekanligini kо'rsatadi.