Matematika yo‘nalishi 20. 0

Teorema. Bir noma’lumli ko‘phadlar to’plami butunlik sohasini tashkil etadi.

Isboti. Ikkita ko‘phad yig’indisi va ko‘paytmasi yana ko‘phaddan iborat ekanligini biz yuqrida ko‘rib o’tdik. Endi ko‘phadlar to’plami uchun halqaning boshqa shartlari bajarilishini ko‘rsatamiz, chunki butunlik sohasini qism halqadan iboratligi bizga a’lum.

1. 
   Haqiqatan, agar va larni yuqoridagicha aniqlasak, quyidagilar
   

bajariladi: bo‘lgani uchun

ya’ni ko‘phadlarni qo’shish kommutativdir.

2. 
   ( ko‘paytirish amali kommutativ ). ko‘phadlarning
   

koeffitsientlari butunlik sohasiga tegishli bo‘lganiga ko‘ra



bo‘lgani tufayli bajariladi. Yuqorida ko‘rib o’tkanimizdek, va bo‘lganda . Demak,



Ko‘phad ham nolga teng emas. Demak, to’plam nolning bo‘luvchilariga ega emas.

3. 
   Ko‘phadlar ko‘paytmasi assotsiativdir, ya’ni
   

(4)

Bu tenglikni isbotlash uchun bo‘lganda



deb olamiz. , va lar mos ravishda , va darajali bo‘lganida ko‘phaddagi ning koeffitsienti



Yig’indi orqali aniqlansa, ko‘phaddagi ning koeffitsienti esa yig’indi orqali aniqlanadi. Ularning tengligiga asosan (4) tenglik ham chindir.

4. 
   (5)
   

Ko‘phadlarni ko‘paytirish qo’shish amaliga nisbatan distributivdir.Bu qonunning chinligi



tenglik yordamida isbotlanadi. Chunki bu tenglikning o’ng tomoni yig’indidagi larning koeffitsientlaridan, chap tomoni esa dagi ning koeffitsientlaridan tuzilgandir.

Yuqoridagi xossalardan quyidagilar kelib chiqadi.

1. 
   da bir noma’lumli bir necha ko‘phadlar yig’indisi tushunchasini
   

kiritish mumkin. Buning uchun induktiv metoddan foydalanamiz. Ya’ni,

halqada uchta ko‘phadlar yig’indisi deganda biz ni tushunamiz.

To’rtta Ko‘phad yig’indisi ham aynan shu usulda beriladi. Umuman, ta ko‘phad yig’indisi tushunchasi ham qo’shishning assotsiativligidan foydalanib kirita olamiz, ya’ni dastavval ta ko‘phad yig’indisi ni aniqlab, uning yordamida ta ko‘phadning yig’indisi kabi aniqlanadi.

Yuqorida ko‘rsatganimizdek, har bir hadni ko‘phad deb qarash mumkin. ko‘phadalrni qo’shish assotsiativ bo‘lganligi tufayli ni noma’lumning darajalarini pasayishi tartibida ham yozsa bo‘laveradi. Bunday holda ko‘phad almashtirish yordamida



ko‘rinishni oladi.

dan olingan va la hamda uchun bo‘lgani va tenglikka binoan simvollarni noma’lumning darajalari deb qarashimiz mumkin. Haqiqatan, , va hokazo. Bulardan tashqari, butunlik sohasidan olingan istalgan elementni ( bo‘lgani tufayli ) nolinchi darajali ko‘phad, ni esa ixtiyoriy birhad deb qarab, ko‘phadlarni ko‘paytirishga binoan birhadni kabi yozish mumkin. ko‘paytirish da kommutativ bo‘lganligi tufayli shart ham bajariladi.

Demak, koeffitsientlari butunlik sohasiga tegishli bo‘lgan noma’lumli ko‘phadlar to’plami kommutativ halqa ekan. Bundan tashqari, agar (2) va (3) da va desak, bulardan bo‘lib, ularning ko‘paytmasi bo‘lmish bo‘ladi.

Chunki . Demak, halqa butunlik sohasidan iborat ekan.