Корянов А. Г., Прокофьев А. А. Тригонометрические уравнения: методы решений и отбор корней 25. 12. 2011

Z



n

. 

Ответ:  

n







4

, 

Z



n

. 

применение универсальной  

тригонометрической подстановки 

Так как 

sin x

, 

x

cos , 

tg x  и  ctg x  выра-

жаются  через 

tg

2

x

,  то  уравнение  вида 

0

)

ctg

,

tg

,

cos

,

(sin



x

x

x

x

f

  подстановкой 

2

tg

x

t 

  часто  удается  свести  к  алгебраи-

ческому  уравнению.  При  этом  следует 

иметь  в  виду,  что  замена 

x

sin

  на 

2

tg

1

2

tg

2

2

x

x



 и 

x

cos  на 

2

tg

1

2

tg

1

2

2

x

x





 ведет к  су-

жению  области  определения  уравнения, 

поскольку  из  рассмотрения  исключаются 

значения 

x ,  при  которых 

0

2

cos



x

,  т.е. 

n

x









2

.  Поэтому  при  применении 

универсальной  тригонометрической  под-

становки  необходимо  дополнительно  вы-

яснить,  являются  или  нет  исключаемые 

из рассмотрения значения 

x  корнями ис-

ходного уравнения. 

Пример 48. Решить уравнение  





x

x

2

5

,

1

sin

2

1

tg









. 

Решение.  Преобразовав  уравнение  к 

виду 

x

x

2

cos

2

1

tg







,  введем  новую 

переменную 

t

x 

tg

.  Так  как  исходное 

уравнение  не  определено  для 

n

x









2

, 

то  такая  замена  не  может  привести  к  по-

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Тригонометрические уравнения: методы решений и отбор корней

 

25.12.2011 

www.alexlarin.net

 

26 

тере  корней.  Заменив 

x

2

cos

  на 

2

2

1

1

t

t





, 

получим  уравнение 

2

2

1

1

2

1

t

t

t











,  кото-

рое  равносильно  каждому  следующему 

уравнению: 

0

)

1

(

2

)

1

)(

1

(

2

2











t

t

t

; 

0

)

1

)(

1

(

2

)

1

)(

1

(

2













t

t

t

t

; 

0

)

3

2

)(

1

(

2









t

t

t

. 

Получаем 

1





t

  и,  возвращаясь  к  пере-

менной 

x ,  решаем  уравнение 

1

tg





x

. 

Отсюда 

4

x

n



 

 

, 

n  Z

. 

Ответ: 

,

4

n n





 

 Z

. 

Тренировочные упражнения 

Решите уравнение: 

29. 

0

10

2

sin

19

2

sin

2

2







x

x

. 

30. 

0

1

sin

5

cos

2

2







x

x

. 

31. 

56

,

0

2

sin

)

cos

(sin

2







x

x

x

. 

32. 

0

7

)

cos

(sin

11

2

sin

5









x

x

x

. 

33. 

2

cos

5

cos

sin

4

sin

3

2

2







x

x

x

x

. 

34. 

4

cos

cos

sin

2

sin

5

2

2







x

x

x

x

. 

35. 

5

2ctg

3tg





x

x

. 

36. 

1

ctg

3

4tg





x

x

. 

37. 

 

2

sin

2

sin

sin

2

cos

2

2

4

2

x

x

x

x



















. 

38. 

 



































4

cos

3

4

cos

3

3

3

2

x

x

. 

39. Решите уравнение  

0

5

cos

7

cos

6

2







x

x

. 

Укажите  корни,  принадлежащие  отрезку 

]

2

;

[







.  

40. Решите уравнение  

0

5

sin

12

sin

4

2







x

x

. 

Укажите  корни,  принадлежащие  отрезку 

]

2

;

[







.  

41. Дано уравнение  

0

3

cos

3

sin

2

2







x

x

. 

а) Решите уравнение. 

б)  Укажите  корни,  принадлежащие  от-

резку 

]

3

;

[





.  

42. Дано уравнение  

0

cos

3

cos

sin

2

sin

2

2









x

x

x

x

. 

а) Решите уравнение. 

б) Укажите корни, принадлежащие от-

резку 



















2

;

.  

43. Дано уравнение 

0

6

tg

5

tg

2







x

x

. 

а) Решите уравнение. 

б) Укажите корни, принадлежащие от-

резку 





















2

;

2

.  

44. Дано уравнение 

0

6

tg

4

cos

1

2







x

x

. 

а) Решите уравнение. 

б) Укажите корни, принадлежащие от-

резку 

















2

7

;

2

.  

45. Дано уравнение 

0

3

tg

2

tg

1

2







x

x

. 

а) Решите уравнение. 

б) Укажите корни, принадлежащие от-

резку 

















2

7

;

2

.  

2.3. Метод разложения на множители 

Один  из  основных  подходов  к  реше-

нию  тригонометрических  уравнений  со-

стоит  в  их  последовательном  упрощении 

с  целью  сведения  к  одному  или  несколь-

ким простейшим. Для упрощения исполь-

зуются  тригонометрические  формулы. 

Универсального  ответа  на  вопрос,  какие 

формулы  следует  применить  в  том  или 

ином  случае,  нет,  однако  есть  ряд  прие-

мов,  которые  полезно  иметь  в  виду  при 

поиске решения.  

Довольно  часто  в  результате  преобра-

зований  удается  привести  уравнение  к 

виду 

0

)

(

...

)

(

)

(

2

1









x

f

x

f

x

f

k

.  В  этом 

случае  дальнейшее  решение  сводится  к 

поиску  корней  уравнений 

0

)

(

1



x

f

, 

0

)

(

2



x

f

,  …, 

0

)

(



x

f

k

  и  дальнейшему 

отбору  тех  из  них,  которые  принадлежат 

области  определения  исходного  уравне-

ния.  

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Тригонометрические уравнения: методы решений и отбор корней

 

25.12.2011 

www.alexlarin.net

 

27 

Такой  подход  к  решению  уравнений, 

известный как метод разложения на мно-

жители,  является  универсальным  (его 

применяют  при  решении  рациональных, 

иррациональных,  показательных  и  лога-

рифмических уравнений).  

Пример 49. Решить уравнение  

0

2

sin

2

sin

cos

sin

6





x

x

x

x

. 

Решение.  Воспользуемся  формулой 

синуса двойного аргумента 

,

0

2

sin

2

sin

2

sin

3





x

x

x

 

.

0

2

sin

3

2

sin

















x

x

 

Так  как 

,

0

2

sin

3





x

  то  последнее 

уравнение равносильно системе 











,

0

0

2

sin

x

x

    

.

0

,

,

2









k

k

k

x

Z

 

Ответ: 

.

0

,

,

2







k

k

k

Z

 

Пример 50. Решить уравнение  

0

)

1

(sin

tg





x

x

. 

Решение.  Так  как  общий  наименьший 

период функций 

x

tg  и 

x

sin

 равен 



2

, то 

отбор  корней  удобно  проводить  на  про-

межутке 

)

2

;

0

[

 .  Проведем  равносильные 

преобразования: 

0

)

1

(sin

tg





x

x

    























0

cos

,

1

sin

,

0

sin

x

x

x

    













































,

2

,

2

2

,

m

x

k

x

n

x

 

Z



l

k

n

,

,

. 

На  промежутке 

)

2

;

0

[

   из  трех  корней 

0, 

2



, 

   исключаем  число 

2



,  поэтому 

множество корней данного уравнения за-

дается формулой  

Z







l

l

x

,

.  

Ответ: 

Z





l

l,

. 

Пример 51. Решить уравнение 

x

x

x

tg

tg

8

cos





. 

Решение.  Перепишем  уравнение  в  ви-

де  





0

1

8

cos

tg







x

x

. 

Функции,  входящие  в  последнее  урав-

нение,  определены  при  всех 

x   кроме 

n

x









2

, 

Z



n

.  На  этом  множестве 

последнее  уравнение  равносильно  сово-

купности  уравнений 

0

tg



x

 и 

1

8

cos



x

, 

решения  которых  определяются  форму-

лами 

n

x





 и 

4

n

x





, 

Z



n

. 

Теперь  необходимо  отобрать  из  полу-

ченных  значений 

x   те,  которые  удовле-

творяют 

условию 

0

cos 

x

, 

т.е. 

n

x









2

, 

Z



n

. Для первой серии кор-

ней  условие 

0

cos 

x

  выполняется.  Для 

отбора  корней  второй  серии 

4

n

x





  вос-

пользуемся следующим. 

Представим 

число 

n  

в 

виде 

p

k

n



 4

,  где 

Z



k

,  а 

p

  принимает 

значения  0,  1,  2  и  3.  Тогда  при  разных 

значениях 

p

  корни  второй  серии  будут 

иметь вид: 

k

x





 при 

0



p

; 

k

x









4

 при 

1



p

; 

k

x









2

  при 

2



p

  и 

k

x









4

3

  при 

3



p

. 

Значит  при 

2



p

  получаются  «запре-

щенные»  значения,  а  все  оставшиеся  ре-

шения можно задать, например, как сово-

купность  серий: 

2

4

n







  и 

n

 , 

Z



n

, 

причем  вторая  из  этих  серий  была  полу-

чена ранее.  

Ответ: 

2

4

n







, 

n

 , 

Z



n

. 

В  случае  тригонометрических  уравне-

ний  проблема  преобразования  исходного 

уравнения  к  виду  уравнения  к  виду 

0

)

(

...

)

(

)

(

2

1









x

f

x

f

x

f

k

  решается,  глав-

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Тригонометрические уравнения: методы решений и отбор корней

 

25.12.2011 

www.alexlarin.net

 

28 

ным  образом,  путем  использования  три-

гонометрических  формул.  Рассмотрим, 

как это делается, на примерах. 

Пример 52. Решить уравнение 

0

cos

sin

2

cos







x

x

x

. 

Решение. Так как  

x

x

x

2

2

sin

cos

2

cos





, 

то  данное  уравнение  равносильно  сле-

дующим:  





 



0

sin

cos

sin

cos

sin

cos











x

x

x

x

x

x

; 



 



0

1

sin

cos

sin

cos











x

x

x

x

. 

Полученное уравнение в свою очередь 

равносильно совокупности уравнений  

0

sin

cos





x

x

 и 

0

1

sin

cos







x

x

. 

1) 

0

sin

cos





x

x

; 

0

4

cos

2



















x

;  

n

x













2

4

; 

n

x









4

, 

Z



n

.  

2) 

0

1

sin

cos







x

x

;  

1

4

cos

2





















x

; 

2

1

4

cos





















x

;  

n

x















2

4

4

3

,