Корянов А. Г., Прокофьев А. А. Тригонометрические уравнения: методы решений и отбор корней 25. 12. 2011

20. 

Найдите 

корни 

уравнения 

,

2

1

3

2

5

4

sin





















x

 

принадлежащие 

промежутку  

)

12

;

8

[

. 

Линейные уравнения вида  

c

x

b

x

a



 sin

cos

 

Если 

0

,

0





b

a

  или 

0

,

0





b

a

,  то 

линейное  уравнение 

c

x

b

x

a



 sin

cos

 

приводится  к  простейшему  уравнению 

b

c

x 

sin

 или 

a

c

x 

cos

.  

Если 

a   и 

b

  отличны  от  нуля,  то  дан-

ное  линейное  уравнение  преобразуется  к 

простейшему методом введения вспомо-

гательного  угла.  Рассмотрим  этот  метод 

на примерах.  

Пример 35. Решить уравнение  

2

cos

sin

3





x

x

. 

Решение.  Данное  уравнение  равно-

сильно следующим: 

1

cos

2

1

sin

2

3









x

x

; 

1

cos

6

sin

sin

6

cos













x

x

; 

1

6

sin



















x

. 

Отсюда  получаем 

n

x













2

2

6

  или 

n

x









2

3

2

, где 

Z



m

. 

Ответ: 

n







2

3

2

, 

Z



m

. 

Пример 36. Решить уравнение  

2

sin

4

cos

3





x

x

. 

Решение.  Данное  уравнение  равно-

сильно следующим: 

2

sin

5

4

cos

5

3

4

3

5

2

2

























x

x









;

5

2

sin

5

4

cos

5

3









x

x

.  

Последнее  уравнение  представим  в 

виде  

5

2

sin

sin

cos

cos













x

x

, 

где 

5

3

arccos





. Отсюда получаем 

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Тригонометрические уравнения: методы решений и отбор корней

 

25.12.2011 

www.alexlarin.net

 

21 





5

2

cos







x

. 

Его решения имеют вид  

n

x













2

5

2

arccos

, 

Z



n

. 

Подставляя 

5

3

arccos





, имеем 

n

x











2

5

3

arccos

5

2

arccos

, 

Z



n

. 

Ответ: 

n









2

5

3

arccos

5

2

arccos

, 

Z



n

. 

Уравнение  вида 

c

x

b

x

a



 sin

cos

,  в 

случае, когда 

0



c

, а коэффициенты 

a  и 

b

  отличны  от  нуля,  сводится  к  простей-

шему делением на 

x

cos  или 

x

sin

. 

Пример 37. Решить уравнение  

0

cos

5

sin





x

x

. 

Решение.  Среди  значений 

x ,  для  ко-

торых 

0

cos 

x

,  корней  уравнения  нет 

(если 

0

cos 

x

,  то  из  уравнения  следует, 

что  и 

0

sin



x

,  а  одновременно  эти  два 

равенства выполняться не могут). Значит, 

деление обеих частей уравнения на 

x

cos  

не  приведет  к  потере  корней.  Разделив, 

получим уравнение  

0

5

tg





x

, 

откуда 

n

x







5

arctg

, 

Z



n

  

Ответ: 

n





5

arctg

, 

Z



n

. 

Пример 38. Решить уравнение 

1

3

cos

15

3

sin

8





x

x

. 

Решение.  Разделим  обе  части  уравне-

ния на 

17

15

8

2

2





. Уравнение примет 

вид  

17

1

3

cos

17

15

3

sin

17

8





x

x

    

17

1

sin

3

cos

cos

3

sin









x

x

    

,

17

1

)

3

sin(







x

 

где 

,

17

8

cos





 

.

17

15

sin







 Тогда имеем  

;

17

1

arcsin

)

1

(

n

x

n













  

.

,

17

1

arcsin

)

1

(

Z

















n

n

x

n

 

Так как 

,

0

17

8

cos







 

,

0

17

15

sin









 

то угол  



 лежит в четвертой четверти и 

поэтому 

.

17

15

arcsin

17

15

arcsin























 

Ответ: 

,

17

1

arcsin

)

1

(

17

15

arcsin

n

n









 

.

Z



n

 

Тренировочные упражнения 

Решите уравнения: 

21. 

3

cos

2

sin

2





x

x

. 

22. 

2

cos

sin

3





x

x

. 

23. Дано уравнение  

0

4

cos

4

sin

3





x

x

. 

а) Решите уравнение. 

б) Укажите корни, принадлежащие от-

резку 



















2

;

2

.  

24. 

Найдите 

корни 

уравнения 

x

x

3

cos

3

sin



,  принадлежащие  отрезку  

]

4

;

0

[

. 

25. 

Найдите 

корни 

уравнения 

x

x

2

cos

3

2

sin



,  принадлежащие  отрез-

ку  

]

6

;

1

[

. 

26. 

Найдите 

корни 

уравнения 

x

x

2

cos

2

sin

3



,  принадлежащие  отрез-

ку  

]

4

;

1

[

. 

27. 

Найдите 

корни 

уравнения 

1

cos

sin

3





x

x

 на отрезке  

]

3

;

3

[







. 

28. 

Найдите 

корни 

уравнения 

1

cos

3

sin





x

x

 на отрезке  

]

4

;

2

[







. 

2.2. Тригонометрические уравнения,  

сводящиеся к алгебраическим  

уравнениям с помощью замены 

В  тех  случаях,  когда  исходное  урав-

нение  может  быть  приведено  к  виду 

0

))

(

(



x

g

f

,  то  заменой 

t

x

g



)

(

  уравне-

ние  сводится  к  решению  уравнения 

0

)

(



t

f

. Далее для каждого полученного 

корня 

k

t   необходимо  решить  уравнение 

 

k

g x

t



. 

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Тригонометрические уравнения: методы решений и отбор корней

 

25.12.2011 

www.alexlarin.net

 

22 

В  тех  случаях,  когда  множество  зна-

чений функции 

)

(x

g

 известно, то пишет-

ся  ограничение  на  новую  переменную. 

Например, 

t

x 

sin

 

при 

,

1

1







t

 

t

x 

cos

  при 

,

1

1







t

 

t

x 

2

sin

  при 

,

1

0



 t

 

t

x 

2

cos

 

при 

,

1

0



 t

 

t

x 

arcsin

  при 

,

2

2











t

 

t

x 

arccos

 

при 

,

0





 t

 

t

x 

arctg

  при 

,

2

2











t

 

t

x 

arcctg

 при 

.

0





 t

  

Иногда  при  решении  уравнений  часть 

«посторонних»  решений  возникающих  в 

результате  замены  могут  быть  удалены 

по  причине  несоответствия  их  области 

определения  или  множеству  значений 

тригонометрических  и  обратных  триго-

нометрических функций. Напомним их. 

Функция 

Область  

определения 

Множество 

значений 

x

y

sin



 

)

;

(







 

]

1

;

1

[

 

x

y

cos



 

)

;

(







 

]

1

;

1

[

 

x

y

tg



 

все 

k

x









2

, 

Z



k

 

)

;

(







 

x

y

ctg



 

все 

k

x









, 

Z



k

 

)

;

(







 

x

y

arcsin



 

]

1

;

1

[

 



















2

;

2

 

x

y

arccos



 

]

1

;

1

[

 

]

;

0

[

  

x

y

arctg



 

)

;

(







 



















2

;

2

 

x

y

arcctg



 

)

;

(







 

)

;

0

(

  

Покажем  на  примерах  как  ограниче-

ние,  связанное  с  новой  переменной,  по-

зволяет проводить проверку на промежу-

точном этапе решения. 

Пример 39. Решить уравнение 

0

8

2

cos

15

2

cos

2

2







x

x

. 

Решение.  Обозначим 

,

2

cos

t

x



  где 

.

1

1







t

  Полученное  квадратное  урав-

нение 

0

8

15

2

2







t

t

 

имеет 

корни 

2

1

1





t

  и 

8

2



t

  (не  удовлетворяет  усло-

вию 

1

1







t

).  

Решая уравнение 

2

1

2

cos





x

, получаем 

,

,

2

2

1

arccos

2

Z

























n

n

x

 

,

,

4

2

1

arccos

2

Z



























n

n

x

,

,

4

3

2

Z





























n

n

x

 

.

,

4

3

4

Z













n

n

x

 

Ответ: 

.

,

4

3

4

Z











n

n

 

Пример 40. Решить уравнение 

0

15

arccos

8

arccos

2







x

x

. 

Решение.  Положим 

t

x 

arccos

.  Так 

как 

множество 

значений 

функции 

x

arccos  – отрезок 







;

0

, найдем решения 

уравнения 

0

15

8

2





 t

t

, 

удовлетво-

ряющие условию  





 t

0

. Такой корень 

один: 

3

t 

.  Если 

3

t 

,  то 

3

arccos 

x

, 

откуда 

3

cos



x

. 

Ответ: 

3

cos

. 

Сведение  тригонометрических  уравне-

ний  к  алгебраическим  путем  замены  пе-

ременной  –  одна  из  наиболее  плодотвор-

ных  идей,  используемая  для  решения 

тригонометрических 

уравнений. 

Рас-

смотрим  несколько  типичных  ситуаций 

введения новой переменной. 

уравнения, сводящиеся к многочлену от 

одной тригонометрической функции 

Рассмотрим  уравнения,  сводящиеся  к  

квадратным  относительно  синуса,  коси-

нуса, тангенса или котангенса. 

Пример 41. Решить уравнение 

0

1

cos

sin

2

2







x

x

. 

Решение.  Используя  основное  триго-

нометрическое 

тождество, 

приведем 

уравнение к виду  

0

cos

1

cos

2

2







x

x

 или 

0

)

1

)(cos

1

cos

2

(







x

x

. 

Отсюда   

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Тригонометрические уравнения: методы решений и отбор корней

 

25.12.2011 

www.alexlarin.net

 

23 

5

,

0

cos





x

, 

,

,

2

3

2

Z













n

n

x

 или 

1

cos 

x

, 

.

,

2

Z







k

k

x

 

Заметим,  что  все  решения  можно 

представить 

одной 

формулой 

.

,

3

2

Z







k

k

x

. 

Ответ: 

.

,

3

2