Корянов А. Г., Прокофьев А. А. Тригонометрические уравнения: методы решений и отбор корней 25. 12. 2011

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Тригонометрические уравнения: методы решений и отбор корней

 

25.12.2011 

www.alexlarin.net

 

1 

СОДЕРЖАНИЕ  стр. 

Введение 

2 

  Формулы  записи  решений  про-

стейших 

тригонометрических 

уравнений .……………………….. 

 

 

2 

  Числовая окружность……………..  2 

  Геометрическая  иллюстрация  ре-

шения простейших  тригонометри-

ческих уравнений………………… 

 

 

3 

  Геометрическая  иллюстрация  ре-

шения простейших  тригонометри-

ческих неравенств……………….. 

 

 

5 

  Проблема  отбора  корней  и  спосо-

бы их отбора ……….……………. 

 

7 

  Решение  уравнений с двумя цело-

численными переменными………. 

 

8 

1. Способы отбора корней в три-

гонометрических уравнениях….

 

 

9 

1.1. Арифметический способ ……...  9 

  непосредственная 

подстановка 

корней  в  уравнение  и  имеющиеся 

ограничения……………………… 

 

 

9 

  перебор  значений  целочисленного  

параметра и вычисление корней.... 

 

10 

1.2. Алгебраический способ………..  11 

  решение  неравенства  относитель-

но  неизвестного  целочисленного 

параметра и вычисление корней.... 

 

 

11 

  исследование  уравнения  с  двумя 

целочисленными параметрами…... 

 

12 

1.3. Геометрический способ.....…….  13 

  отбор  корней  тригонометрическо-

го  уравнения  на  числовой  окруж-

ности………………………………. 

 

 

14 

  отбор  корней  тригонометрическо-

го уравнения на числовой прямой. 

 

15 

1.4. Функционально-графический 

способ ……………………………….. 

 

16 

2.  Основные  методы  решения  

тригонометрических уравнений 

 

 

19 

2.1. Тригонометрические уравнения, 

линейные относительно простейших 

тригонометрических функций …….. 

 

 

19 

  Уравнения,  сводящиеся  к  про-

стейшим 

тригонометрическим 

уравнениям ...................................... 

 

 

19 

  Линейные 

уравнения 

вида 

c

x

b

x

a



 sin

cos

 ……………..... 

 

20 

2.2.  Тригонометрические  уравне-

ния, сводящиеся к алгебраическим 

уравнениям с помощью замены ..... 

 

 

21 

  Уравнения,  сводящиеся  к  много-

члену  от  одной  тригонометриче-

ской функции …………………….. 

 

 

22 

  Решение  уравнений,  однородных 

относительно синуса и косинуса ... 

 

23 

  Симметрические уравнения…........  24 

  Применение  универсальной  три-

гонометрической подстановки...... 

 

25 

МАТЕМАТИКА ЕГЭ 2012 

Тригонометрические уравнения: методы решений и отбор корней 

(типовые задания С1) 

 

Прокофьев А.А., 

Корянов А.Г.

  

 

Прокофьев  А.А.  –  доктор  педагогических  наук,  заведующий  кафедрой  высшей 

математики №1 НИУ МИЭТ, учитель математики ГОУ лицей №1557 г. Зелено-

града; e-mail: 

[e-mail]

 

Корянов  А.Г.  –  методист  по  математике  городского  информационно-

методического Центра (ГИМЦ) г. Брянска, учитель математики МОУ лицей №27 

г. Брянска; e-mail: 

[e-mail]

  

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Тригонометрические уравнения: методы решений и отбор корней

 

25.12.2011 

www.alexlarin.net

 

2 

2.3. Метод разложения на множители   26 

2.4. Функциональные методы …… 

30 

  Использование  области  определе-

ния функций ……………………… 

 

30 

  Использование 

ограниченности 

функций …………………………... 

31 

  Использование 

монотонности 

функций…………………………… 

 

33 

  Использование 

периодичности 

функций…………………………… 

 

35 

  Использование  четности  и  нечет-

ности функций……………………. 

 

36 

2.5. Комбинированные уравнения 

37 

  Уравнения, содержащие дроби .....  38 

  Уравнения,  содержащие  корни 

натуральной степени……………... 

 

41 

  Уравнения, содержащие логарифмы  43 

  Уравнения, содержащие модули .. 

45 

2.6. Системы уравнений……………  46 

Ответы…………………......................  47 

Список и источники литературы..…..  51 

Введение 

Прежде  чем  перейти  к  рассмотрению 

тригонометрических  уравнений,  остано-

вимся  на  некоторых  важных  вопросах, 

имеющих непосредственное отношение к 

решению этих уравнений. 

Формулы записи решений простейших 

тригонометрических уравнений 

В  большинстве  учебников  для  записи 

решений  простейших  уравнений  исполь-

зуются следующие формулы: 

Вид уравнения 

Общая формула  

решений 

a

x 

sin

, 

1

|

|



a

 

,

arcsin

)

1

(

n

a

x

n









 

Z



n

 

a

x 

cos

, 

1

|

|



a

 

,

2

arccos

n

a

x









 

Z



n

 

a

x 

tg

 

,

arctg

n

a

x







Z



n

 

a

x 

ctg

 

Z









n

n

a

x

,

arcctg

 

При  повторении  формул  решения 

уравнений следует обратить внимание на 

то,  что  формулы  задают  множества  чи-

сел, которые образованы по закону ариф-

метической  прогрессии  с  разностью 



2

 

или 

 .  С  другой  стороны  использование 

общей формулы серий решений не всегда 

является  удобной  при  отборе  корней,  в 

частности,  на  числовой  окружности.  В 

этом  случае  как  раз  удобнее  не  объеди-

нять  серии  решений тригонометрических 

уравнений, а представлять их совокупно-

стью,  выделяя  разность 



2

  соответст-

вующих прогрессий. 

1. 

Решения 

уравнения 

a

x 

sin

 

(

1

1







a

)  можно  записать  совокупно-

стью двух серий решений  























Z

n

n

a

n

a

x

,

2

arcsin

,

2

arcsin

. 

Уравнения 

1

sin



x

 и 

1

sin





x

 имеют 

решения 

,

2

2

n

x









 

Z



n

, 

и 

,

2

2

n

x











 

Z



n

, соответственно. 

2. 

Решения 

уравнения 

a

x 

cos

 

(

1

1







a

)  можно  записать  совокупно-

стью двух серий решений  





















Z

n

n

a

n

a

x

,

2

arccos

,

2

arccos

. 

Уравнения 

1

cos 

x

  и 

1

cos





x

  име-

ют решения 

Z







n

n

x

,

2

 и 

,

2 n

x









 

Z



n

 соответственно. 

3.  Решения  уравнения 

a

x 

tg

  можно 

записать совокупностью двух серий 























Z

n

n

a

n

a

x

,

2

arctg

,

2

arctg

. 

4.  Решения  уравнения 

a

x 

ctg

  можно 

записать совокупностью двух серий 























Z

n

n

a

n

a

x

,

2

arcctg

,

2

arcctg

. 

Числовая окружность 

Числовая  (или  координатная)  окруж-

ность  активно  применяется  в  преподава-

нии  тригонометрии,  с  ее  помощью  легко 

демонстрировать  множества  чисел,  объе-

диненных  по  определенным  свойствам. 

Поэтому  рассмотрение  примеров  в  дан-

ном  пособии  будет  в  основном  связано  с 

координатной окружностью. В тех случа-

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Тригонометрические уравнения: методы решений и отбор корней

 

25.12.2011 

www.alexlarin.net

 

3 

ях,  где  затруднительно  использовать  чи-

словую  окружность,  для  отбора  корней 

тригонометрического  уравнения  приме-

няют координатную прямую. 

Числовой  (координатной)  окружно-

стью  называют  окружность  единичного 

радиуса, на которой выбраны: 

а) начало отсчета; 

б)  положительное  направление  (про-

тив часовой стрелки); 

в) единица измерения (радиус 

1



r

). 

Отображение  числового  множества  R 

на  координатную  окружность  наглядно 

можно  представить  как  «наматывание» 

координатной  прямой  на  координатную 

окружность: положительный луч  коорди-

натной  прямой  –  в  положительном  на-

правлении,  отрицательный  луч  –  в  отри-

цательном направлении (см. рис. 1).  

Отметим, 

что 

отображение  число-

вого множества R на 

координатную 

ок-

ружность  не  являет-

ся 

взаимно  одно-

значным: 

каждая 

точка 

окружности 

изображает 

беско-

нечное 

множество 

действительных  чи-

сел,  каждому  дейст-

вительному 

числу 

соответствует  един-

ственная  точка  ок-

ружности.  

Геометрическая иллюстрация 

решения простейших 

тригонометрических уравнений 

Все  числа  вида 

Z









n

n,

2

соответ-

ствуют  единственной  точке  числовой ок-

ружности 



P , так  как  при обходе окруж-

ности  в  положительном  или  отрицатель-

ном  направлении  на  целое  число  оборо-

тов  из  данной  точки 



P   приходим  в  эту 

же точку. 

уравнения вида 

a

x 

sin

 

Числа вида 

n







2

  или 

,

2 n













 

Z



n

  на  числовой  окружности  изобра-

жаются  точкой 



P   или 









P

  соответст-

венно. Эти точки расположены на окруж-

ности  симметрично относительно оси 

y

. 

Эти два множества чисел можно записать 

в виде 

Z











n

n

n

,

)

1

(

. 

Пример  1.  Изобразить  на  числовой 

окружности  множество  решений  урав-

нения 

2

2

sin



x

. 

Решение.  Запишем  решения  данного 

уравнения 

n

x









2

4

  или 

n

x









2

4

3

, 

Z



n

. 

Две  точки  на  ок-

ружности 

4



P  и 

4

3

P , 

изображающие  ре-

шения  этого  урав-

нения,  расположе-

ны 

симметрично 

относительно 

оси 

ординат (см. рис. 2).  

уравнения вида 

a

x 

cos

 

Числа  вида 

n







2

  или 

,

2 n









 

Z



n

,  на  числовой  окружности  изобра-

жаются точкой 



P  или 





P  соответствен-

но.  Точки  расположены  на  окружности 

симметрично  относительно  оси 

x .  Эти 

два  множества  чисел  можно  записать  в 

виде 

Z











n

n,

2

. 

Пример  2.  Изобразить  на  числовой 

окружности  множество  решений  урав-

нения 

2

3

cos 

x

. 

Решение.  Запишем  решения  данного 

уравнения 

n

x









2

6

 или 

n

x











2

6

, 

Z



n

.  Две  точки  на  окружности 

6



P   и 

6





P , 

изображаю-

щие  решения  этого 

уравнения,  распо-

ложены 

симмет-

рично  относитель-

но оси  абсцисс  (см. 

рис. 3). 

O





P





P





P

P







P



P



 

Рис. 2 



















P

0









P



О























P









Рис. 1 

O





P





P

P







P

P



 

Рис. 3 

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Тригонометрические уравнения: методы решений и отбор корней

 

25.12.2011 

www.alexlarin.net

 

4 

уравнения вида 

a

x 

tg

 или 

a

x 

ctg

 

Числа  вида 

n







2

  или 

,

2 n











 

Z



n

,  на  числовой  окружности  изобра-

жаются точками 



P  или 







P

. Точки рас-

положены  на  окружности  симметрично 

относительно  начала  координат.  Эти  два 

множества  чисел  можно  записать  в  виде 

Z









n

n,

. 

Пример  3.  Изобразить  на  числовой 

окружности  множество  решений  урав-

нения 

3

tg 

x

. 

Решение.  Запишем  решения  данного 

уравнения 

n

x









2

3

 или 

n

x









2

3

4

, 

Z



n

.  Две  точки  на  окружности 

3



P   и 

3

4

P ,  изображаю-

щие  решения  это-

го  уравнения,  рас-

положены 

сим-

метрично  относи-

тельно  начала  ко-

ординат  (см.  рис. 

4). 

Пример  4.  Изобразить  на  числовой 

окружности  множество  решений  урав-

нения 

3

ctg 

x

. 

Решение.  Запишем  решения  данного 

уравнения 

n

x









2

6

 или 

n

x









2

6

7

, 

Z



n

.  Точки  на  ок-

ружности 

6



P   и 

6

7

P , 

изображающие  ре-

шения  этого  урав-

нения, расположены 

симметрично  отно-

сительно  начала  ко-

ординат (см. рис. 5). 

уравнения вида 

a

x

T



 )

(

 

Для уравнений вида 

a

x

T



 )

(

, где че-

рез 

T

  обозначена  одна  из  простейших 

тригонометрических  функций,  изображе-

ние  решений  уравнения  связано  с  точка-

ми-вершинами  правильного  многоуголь-

ника. 

Числам  вида 

Z









n

k

n

,

2

, 

;

4

;

3

{



k

 

...}

;

5

 на числовой окружности соответст-

вуют  вершины  правильного  k-угольника, 

вписанного в окружность. 

Случаи 

1



k

  и 

2



k

  рассмотрены 

выше. При 

1



k

 получаем единственную 

точку  на  окружности,  а  при 

2



k

  –  две 

диаметрально  противоположные  точки 

окружности.