Корянов А. Г., Прокофьев А. А. Тригонометрические уравнения: методы решений и отбор корней 25. 12. 2011

Z



n

.  

Ответ:  

n







4

, 

n













2

4

4

3

, 

Z



n

. 

Если  уравнение  содержит  выражения 







sin

sin

, 







cos

cos

,  то  для  разло-

жения на множители можно попробовать 

применить формулы преобразования этих 

сумм (разностей) в произведения.  

Пример 53. Решить уравнение  

0

4

sin

3

sin

2

sin

sin









x

x

x

x

. 

Решение.  Перепишем  уравнение  в  ви-

де 



 



0

4

sin

2

sin

3

sin

sin









x

x

x

x

.  Да-

лее  преобразуем  это  уравнение,  исполь-

зуя формулу  

2

cos

2

sin

2

sin

sin























. 

Получим  

0

cos

3

sin

2

cos

2

sin

2





x

x

x

x

; 





0

3

sin

2

sin

cos





x

x

x

; 

0

2

cos

2

5

sin

cos







x

x

x

. 

Последнее  уравнение  распадается  на 

три: 

1) 

0

cos 

x

; 

n

x









2

;  

2) 

0

2

5

sin



x

; 

5

2 n

x





, 

Z



n

; 

3) 

0

2

cos



x

; 

n

x









2

, 

Z



n

. 

Ответ: 

n







2

, 

5

2 n



, 

n







2

, 

Z



n

. 

Пример  54.  Найти  наибольший  от-

рицательный корень уравнения  

0

3

sin

2

sin

sin







x

x

x

. 

Решение. Последовательно имеем  

0

3

sin

2

sin

sin







x

x

x

    

0

3

sin

2

cos

2

3

sin

2





x

x

x

     

  

0

2

3

cos

2

3

sin

2

2

cos

2

3

sin

2





x

x

x

x

    

0

2

3

cos

2

cos

2

3

sin

2

















x

x

x

    

  

0

cos

2

cos

2

3

sin



x

x

x

  























0

cos

,

0

2

cos

,

0

2

3

sin

x

x

x

 

  



































,

2

,

2

,

3

2

l

x

k

x

n

x

 

Z



l

k

n

,

,

. 

Продемонстрируем  применение  раз-

личных  способов  для  отбора  наибольше-

го отрицательного корня данного уравне-

ния. 

Алгебраический  способ.  Для  каждой 

серии корней решим неравенства относи-

тельно  соответствующего  параметра  n,  k 

и l. 

а)  Для  первой  серии  корней  имеем 

Z







n

n

,

0

3

2

. Отсюда получаем  

0



n

, 

а  наибольшее  целое  отрицательное  зна-

чение  

1





n

 и корень 

.

3

2





x

 

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Тригонометрические уравнения: методы решений и отбор корней

 

25.12.2011 

www.alexlarin.net

 

29 

б)  Второе  неравенство 

,

0

2









k

 

Z



k

, выполняется, если 

Z







k

k

;

5

,

0

, 

или 

1





k

 и 

.







x

  

в) 

Z











l

l

x

,

2

, и 

,

0

2









l

 тогда 

Z,







l

l

,

2

1

 или 

1





l

 и 

.

2







x

 

Выбираем наибольший отрицательный 

корень уравнения 

.

2







x

 

Арифметический  способ.  Выполнив 

перебор  значений  параметров  n,  k  и  l, 

найдем значения для переменной х. 

а) 

Z







n

n

x

,

3

2

.  Пусть 

0



n

,  тогда 

0



x

. Если 

1





n

, то 

.

3

2





x

 

б) 

Z











k

k

x

,

2

. Последовательно 

подставляем 

0



k

  и 

1





k

,  получаем 





x

 и 







x

 соответственно. 

в) 

Z











l

l

x

,

2

.  Тогда  при 

0



l

  и 

1





l

  вычисляем   

2





x

  и 

.

2







x

  Так 

как 

2

3

2

















,  то  наибольший  от-

рицательный корень уравнения 

2







x

. 

Геометрический  способ.  На  тригоно-

метрическом  круге  изобразим  точками 

числа,  соответствующие  найденным  се-

риям решений (рис. 22).  

При обходе по 

тригонометриче-

ской окружности в 

отрицательном 

направлении  пер-

вое  встретившееся 

число есть 

.

2





 

Ответ: 

.

2





 

Тренировочные упражнения 

46.  Найдите  все  решения  уравнения 

x

x

cos

2

sin



,  принадлежащие промежут-

ку 



















4

3

;

. 

47. Найдите все корни уравнения 

0

)

3

sin

2

)(

1

sin

2

(







x

x

, 

удовлетворяющие неравенству 

0

cos 

x

. 

48. Решите уравнение 

0

4

sin

12

cos





x

x

. 

49. Решите уравнение 

0

5

cos

cos



x

x

. 

50.  Найдите  сумму  корней  уравнения 

0

)

1

)(sin

1

tg

(







x

x

, 

принадлежащие 

промежутку 

]

350

;

50

[







. 

51.  Найдите  сумму  корней  уравнения 

0

2

sin

)

3

ctg

(





x

x

, 

принадлежащие 

промежутку 

]

300

;

100

[







. 

52.  Найдите  все  корни  уравнения 

0

)

3

sin

2

)(

1

sin

2

(







x

x

, 

удовлетво-

ряющие неравенству 

0

tg 

x

. 

53.  Найдите  все  корни  уравнения 

0

)

1

cos

2

)(

1

cos

2

(







x

x

, 

удовлетво-

ряющие неравенству 

0

sin 

x

. 

54.  Найдите  все  корни  уравнения 

0

)

4

cos

3

)(

3

cos

2

(







x

x

, 

удовлетво-

ряющие неравенству 

0

tg 

x

. 

55.  Найдите  все  корни  уравнения 

0

)

1

cos

2

)(

3

tg

(







x

x

,  удовлетворяю-

щие неравенству 

0

sin 

x

. 

56.  Найдите  все  корни  уравнения 

0

)

1

sin

2

)(

1

tg

(







x

x

, 

удовлетворяю-

щие неравенству 

0

cos 

x

. 

57.  Найдите  все  корни  уравнения 

1

tg

3

2



x

,  удовлетворяющие  неравенству 

0

sin 

x

. 

58.  Найдите  все  корни  уравнения 

x

x

sin

sin

2

2



,  удовлетворяющие  нера-

венству 

0

cos 

x

. 

59.  Найдите  все  корни  уравнения 

0

cos

3

cos

2

2





x

x

,  удовлетворяющие 

неравенству 

0

sin



x

. 

60.  Найдите  все  корни  уравнения 

x

x

tg

3

tg

2



,  удовлетворяющие  нера-

венству 

0

cos 

x

. 

61. Решите уравнение 

0

cos

ctg





x

x

. 

62. Решите уравнение 

0

sin

tg





x

x

. 

63. Решите уравнение  

0

1

4

cos

3

2

ctg































x

x

. 

x

y

O





















 

Рис. 22 

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Тригонометрические уравнения: методы решений и отбор корней

 

25.12.2011 

www.alexlarin.net

 

30 

64. Решите уравнение 

x

x

x

4

cos

5

sin

sin





. 

65. Решите уравнение 

x

x

x

6

cos

5

cos

cos





. 

66. Укажите все корни уравнение  

0

sin

2

2

sin





x

x

, 

принадлежащие отрезку 



















2

3

;

2

3

. 

67. Решите уравнение 

0

2

arcsin

)

6

5

(

2









x

x

x

. 

68. Решите уравнение 

0

2

arccos

)

3

7

2)(2

(

2











x

x

x

x

. 

69. Дано уравнение  

1

sin

cos

4

2

sin

2







x

x

x

. 

а) Решите уравнение. 

б) Укажите корни, принадлежащие отрез-

ку 

















2

3

;

2

.  

70. Дано уравнение  

0

2

sin

3

cos

4

2

sin

3









x

x

x

. 

а) Решите уравнение. 

б) Укажите корни, принадлежащие отрез-

ку 

















2

3

;

2

.  

71. Дано уравнение  

1

cos

sin

2

2

sin







x

x

x

. 

а) Решите уравнение. 

б) Укажите корни, принадлежащие отрез-

ку 





















2

;

2

.  

72. Дано уравнение  

x

x

x

x

3

cos

7

sin

2

cos

8

sin



. 

а) Решите уравнение. 

б) Укажите корни, принадлежащие отрез-

ку 

















;

2

.  

73. Дано уравнение  

x

x

x

x

4

sin

8

sin

2

sin

10

sin



. 

а) Решите уравнение. 

б) Укажите корни, принадлежащие отрез-

ку 



















2

;

6

.  

2.4. Функциональный метод 

Область  применения  свойств  функции 

при  решении  уравнений  очень  широка. 

Наличие  свойств  (ограниченность,  моно-

тонность и т.д.) функций, входящих урав-

нение  позволяет  применить  нестандарт-

ные  методы  решения  к  стандартным  по 

формулировке задачам – уравнениям. 

Использование области определения 

функций 

Предварительный  анализ  области  до-

пустимых  значений  неизвестной  уравне-

ния иногда позволяет получить корни без 

преобразований уравнения. 

Рассмотрим  ограничения,  связанные  с 

областью определения и множеством зна-

чений функции. 

Пример 55. Решить уравнение  













6

2

1

4

3

arccos

x

x

x

. 

Решение.  В  соответствии  с  определе-

нием  арккосинуса  запишем  ограничения, 

которым  должен  удовлетворять 

x .  Об-

ласть  допустимых  значений  уравнения 

определяется условиями 

1

2

1

4

3

1











x

x

, а 

поскольку  значения  арккосинуса  ограни-

чены  отрезком 







,

0

,  то  для  выполнения 

равенства  необходимо  выполнение  усло-

вия 













6

0

x

.  Получаем  систему 

неравенств 







































































1

6

0

,

1

2

1

4

3

,

1

2

1

4

3

6

0

,

1

2

1

4

3

1

x

x

x

x

x

x

x

x

 

.

5

5

6

,

0

2

1

3

5

,

0

2

1

5











































x

x

x

x

x

x

 

Подставляя  полученное  единственное 

значение 

5





x

  в  исходное  уравнение, 

получим  

























6

)

5

(

)

5

(

2

1

4

)

5

(

3

arccos

, 

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Тригонометрические уравнения: методы решений и отбор корней