Исследование задач диффузии информации

II. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА РАСПРОСТРАНЕНИЯ ….
Мы начали с изучения моделей с одним уравнением, имеющих характер непрерывного дифференциального уравнения:

§2.1. Математическая модель процесса диффузии …

Исходя из указанных предположений о характере процесса диффузии
Модели с одним уравнением
Несмотря на то, что модели с одним видом имеют отношение к лабораторным исследованиям, в реальных ситуацияхпроисходит телескопирование эффектов, когда происходящие события не воспринимаются в правильном порядке в течение заданного периода времени, что влияет на динамику популяции [30]. При изучении культуры бактерий нет особого смысла принимать во внимание каждую отдельную бактерию. Вместо этого основное внимание следует уделять массе, объему и оптической плотности культуры [46]. Это приводит нас к реализации непрерывных переменных. Пусть N (t) обозначает популяцию видов в момент времени t, тогда скоростьизменения популяции может быть рассчитана с помощью:
Рождаемость − Смертность + Миграция
Миграция с учетом факторов может усложнить модель. Простейшая модель не содержит миграции, в то время как рождаемость и смертность пропорциональны N(t):
Модель Мальтуса (1798 г.) [27] Самое раннее применение математики и математического моделирования к теории населения было проведено Томасом Робертом Мальтусом [27]. Британский священник и экономист Мальтус сформулировал следующую модель, используя закон экспоненциального роста [46]
(2)
где и — положительные константы, пропорциональные
Переставляя и интегрируя (2), имеем:
(3)
(4)
где C - константа. (5)
(6)
(7)
(8)
При имеем
(9)
(10)
Поэтому
(11)
где N(0) = N0 обозначает начальную популяцию.
Вот, если:
- Население растет экспоненциально.
- Популяция вымирает, со временем вымирая.
Хотя эта модель довольно нереалистична, ее можно использовать как форму оценки, например, для оценки населения мира [30]. Аппроксимация предполагает, что популяции изменяются непрерывно и дифференцируемо во времени. Линейная модель роста популяции удовлетворительна, если изучаемая популяция не слишком велика [2]. Для большой популяции эта модель становится гораздо менее точной, учитывая влияние индивидуумов, конкурирующих за ограниченное жизненное пространство, природные ресурсы и доступную пищу. Следовательно, усовершенствованная модель популяции должна включать конкуренцию в качестве содействующего фактора. Это приводит нас к модели Verhulst или логистическому росту.
Модель: