Ii qism. Qatorlar nazariyasidan mashqlar I bob. Sonli qatorlar 1-§. Sonli qatorlar

 

Javob: 

 









































...

!

2

...

!

2

2

!

1

2

1

2

2

n

x

x

x

e

x

f

n











x

. 

Quyidagi  funksiyalarni 

x

  ning  darajalari  bo’yicha 

Makloren qatoriga yoying. 

1. 

 

x

x

f

5



 

Javob: 

 



























x

n

x

x

f

n

n

n

x

;

!

5

ln

1

5

1

. 

2. 

 

x

e

x

f

x

1





 

Javob: 

 































x

n

x

x

x

e

x

f

n

x

,

...

!

...

!

2

1

1

1

. 

3. 

 





x

x

f





10

ln

  

Javob: 

 

























...

10

3

10

2

10

10

ln

10

ln

3

3

2

2

x

x

x

x

x

f

 

 

























x

n

x

n

n

n

,

...

10

1

1

. 

4. 

 

x

x

f

2

sin



 

Javob: 

 

 

 

...

!

2

2

1

...

!

4

8

!

2

2

sin

2

1

2

1

4

2

2



















n

x

x

x

x

x

f

n

n

n

 















x

. 

5. 

 

x

x

x

f

2

2

cos

sin



 

Javob: 

 

 

 

,

!

2

2

1

cos

sin

1

2

3

4

1

2

2

















n

n

n

n

n

x

x

x

x

f

 

















x

x

x

x

,

2

sin

4

1

cos

sin

2

2

2

. 

6. 

   



x

x

x

f

2

1

1

3







 

Javob: 

    

 





,

2

1

1

2

1

1

3

0

1





















n

n

n

n

x

x

x

x

f

 

 

110

 







,

2

1

2

1

1

2

1

1

3

x

x

x

x













 

,

...

1

1

1

0

2



















n

n

x

x

x

x

 

 

 

 

,

2

1

...

2

1

...

2

2

1

2

1

1

0

2





























n

n

n

n

n

n

n

x

x

x

x

x

 

 

 

 





































0

1

0

0

2

1

1

2

1

2

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

x

x

x

x

f

. 

7. 

  



x

e

x

x

f







1

 

Javob: 

  



 





































x

x

n

n

e

x

x

f

n

n

n

x

,

!

1

1

1

1

2

1

. 

8. 

 

x

x

x

f







1

1

ln

 

Javob: 

 





1

1

...,

1

2

2

...

3

2

2

1

1

ln

1

2

3



























x

n

x

x

x

x

x

x

f

n

 

9. 

 

2

2

1

x

x

x

f





 

Javob: 

 





 

,

!

!

2

!

!

1

2

...

2

1

1

2

2

2

2

2

2

















n

x

n

n

x

x

x

x

x

f

 





1

1







x

 

10. 

 





x

x

x

f







1

1

ln

 

Javob: 

 



































 











3

2

3

1

2

1

1

2

1

1

1

1

ln

x

x

x

x

x

x

f

 





1

1

,

...

4

1

3

1

2

1

1

4





























x

x

 

11. 

 





2

2

3

1

ln

x

x

x

f







 

Javob: 

 





 





,

2

1

1

2

3

1

ln

1

2

n

x

x

x

x

f

n

n

n

































2

1

2

1

x

 

12. Binomial qator yordami bilan 

1



x

 bo’lganda 



























...

6

4

2

5

3

1

4

2

3

1

2

1

1

1

1

6

4

2

2

x

x

x

x

 

 

111

 





 

...

2

...

4

2

1

2

...

3

1

2



















n

x

n

n

 

ekanini  ko’rsating  va  qatorni  hadma-had  integrallab, 

x

arcsin

 uchun qatorga yoying. 

Javob: 





 

...

1

2

2

...

4

2

1

2

...

3

1

...

5

4

2

3

1

3

2

1

arcsin

1

2

5

3



































n

x

n

n

x

x

x

x

n

. 

13. Binomial qator yordami bilan 

1



x

 bo’lganda 

...

!

3

2

5

3

1

!

2

2

3

1

2

1

1

1

1

6

3

4

2

2

2























x

x

x

x

 

ekanligini  ko’rsating  va  qatorni  hadma-had  integrallab, 





2

1

ln

x

x





 funksiya uchun qatorga yoying. 

 

4-§. Qatorlarning taqribiy hisoblashlarga tatbiqi 

 

1-misol. 

4

10

ни

1

,

1

ln



 gacha aniqlikda hisoblang.  

Yechish.  Ma’lumki 





 

.

.

.

1

.

.

.

4

3

2

1

ln

1

4

3

2





















n

x

x

x

x

x

x

n

n

 





1

1







x

 da 

1

,

0



x

 deb olsak 

 

 

 

 

..

.

.

4

1

,

0

3

1

,

0

2

1

,

0

1

,

0

1

,

1

ln

4

3

2











 

Bu ishoralari almashinuvchi Leybnis qatori. Qator to’rtinchi 

hadining absolyut qiymati 

4

10



 dan kichik bo’lgani sababli, 

4

10

ни

1

,

1

ln



  gacha  aniqlikda  hisoblash  uchun  qatorning 

uchta 





3



n

 hadini olish yetarlidir. Demak,  

 

0953

,

0

3

001

,

0

2

01

,

0

1

,

0

1

,

1

ln









.  

 

112

 

 

0953

,

0

1

,

1

ln



. 

2-misol. 

5

10

ни

2

ln



 gacha aniqlikda hisoblang.  

Yechish.  Logarifmlarni taqribiy hisoblashda 































3

1

2

3

1

1

2

1

2

ln

1

ln

N

N

N

N

 



















...

1

2

5

1

5

N

 

dan foydalanamiz. Bu yerda 

1



N

 bo’ladi. 







































...

3

1

2

1

...

3

5

1

3

3

1

3

1

2

2

ln

1

2

5

3

n

n

. 

1



n

R

 qoldiq hadni baholaymiz. 



































...

3

1

5

2

1

3

1

3

2

1

2

5

2

1

2

1

n

n

n

n

n

R

 















































8

3

3

2

9

2

3

1

3

1

1

3

3

2

2

3

2

2

3

2

n

n

n

n

n





5

1

2

10

3

3

2

4

1













n

n

. 

Bundan 





5

1

2

10

3

3

2

4









n

n

  va  bu  tengsizlik   

4



n

  

bo’lganda o’rinli bo’ladi. Demak,  

69314

,

0

3

9

1

3

7

1

3

5

1

3

3

1

3

1

2

2

ln

9

7

5

3

































 yoki 

69314

,

0

2

ln



. 

3-misol. 

3

1

,

0

10

ни



e

 gacha aniqlikda hisoblang.  

Yechish.  

x

e

 ning yoyilmasidan foydalanamiz. 





n

n

x

R

x

n

x

x

e

















1

2

!

1

1

.

.

.

!

2

1

1

, 

 

113

 

x

x

n

R

n











0

,

!

1

. 

1

,

0



x

  desak, 

3

1

,

0







e

e

e



  bo’ladi. 

U  holda 

001

,

0

!

10

3







n

R

n

n

  tengsizlik   

3



n

    bo’lganda 

o’rinli  bo’ladi.  Demak, 

3

1

,

0

10

ни



e

  gacha  aniqlikda 

hisoblash  uchun  qatorning  uchta  hadini  hisoblash  kifoya, 

ya’ni 

105

,

1

200

1

10

1

1

1

,

0









e

 

yoki 

105

,

1

1

,

0



e

. 

4-misol. 

0001

,

0

ни

130

3

  gacha  aniqlikda  taqribiy 

hisoblang.  

Yechish.  Ma’lumki 

































3

2

!

3

2

1

!

2

1

1

1

x

m

m

m

x

m

m

mx

x

m



 



1

1

,

.

.

.

!

1

...

1

...



















x

x

n

n

m

m

m

n

 

3

130

 ni quyidagi ko’rinishda yozamiz 

3

1

3

3

3

25

1

1

5

25

1

1

125

5

125

130











 













 







. 

3

1



m

 bo’lsa 



















 











 













 









...

!

3

2

3

1

1

3

1

3

1

!

2

1

3

1

3

1

3

1

1

1

3

2

3

1

x

x

x

x

 

...

!

4

3

8

5

2

1

!

3

3

5

2

1

!

2

3

2

1

3

1

1

4

4

3

3

2

2































x

x

x

x

. 

Endi  hosil  bo’lgan  qatorda 

x

  ning  o’rniga 

25

1

  ni 

qo’yamiz. 

 

114