Ii qism. Qatorlar nazariyasidan mashqlar I bob. Sonli qatorlar 1-§. Sonli qatorlar

Mustaqil yechish uchun mashqlar 

 

Solishtirish  alomatlaridan  foydalanib  quyidagi 

qatorlarning yaqinlashishi yoki uzoqlashishini ko’rsating. 

1. 









1

2

1

n

n

n

                                      Javob: yaqinlashuvchi 

2. 







2

ln

n

n

n

                                        Javob: uzoqlashuvchi 

3. 





















...

3

1

3

1

2

1

2

1

2

1

2

2

 





...

1

1

2







n

n

                                 Javob: yaqinlashuvchi 

 

83

 

4. 

...

3

sin

...

9

sin

3

sin









n







                 Javob: yaqinlashuvchi 

5. 





...

1

1

...

4

3

1

3

2

1

2

1

1



















n

n

 

 

 

Javob: 

uzoqlashuvchi 

6. 

...

1

1

...

3

1

3

1

2

1

2

1

1

2

2

2























n

n

                      Javob: 

uzoqlashuvchi 

7. 

...

1

sin

...

2

1

sin

1

sin









n

                   Javob: yaqinlashuvchi 

8. 

...

1

2

ln

...

1

3

2

3

ln

1

2

2

2

ln

2

3

ln

2

2

2

2

2

2























n

n

 

 

Javob: 

yaqinlashuvchi 

9. 

...

3

sin

2

...

3

sin

2

3

sin

2

2

2









n

n







              Javob: 

uzoqlashuvchi 

Dalamber  va  Koshi  alomatlaridan    foydalanib 

quyidagi  qatorlarning  yaqinlashish  yoki  uzoqlashishini 

tekshiring. 

1. 

...

2

...

2

3

2

2

2

1

3

2











n

n

                     Javob: yaqinlashuvchi 

2. 

...

!

5

...

!

3

5

!

2

5

!

1

5

3

2











n

n

                     Javob: uzoqlashuvchi 

3. 

...

!

...

!

3

3

!

2

2

1

3

2











n

n

n

                      Javob: uzoqlashuvchi 

4. 

...

1

2

1

...

1

3

2

1

3

1

2

2

1

2

2

3

2































































n

n

n

Javob: 

yaqinlashuvchi 

 

84

 

5. 

...

3

1

...

9

2

3

3

2

2

4













 



















n

n

n

n

                 Javob: yaqinlashuvchi 

6. 





















.

.

.

9

5

1

8

5

2

5

1

5

2

2

 









.

.

.

3

4

.

.

.

9

5

1

1

3

.

.

.

8

5

2

























n

n

                     Javob: yaqinlashuvchi 

7. 















.

.

.

!

!

5

7

4

1

!

!

3

4

1

1

 









.

.

.

!

!

1

2

2

3

.

.

.

7

4

1

















n

n

                      Javob: uzoqlashuvchi 

8. 

...

2

sin

...

4

sin

2

sin

2









n

n







              Javob: yaqinlashuvchi 

9. 

...

2

3

...

2

3

2

3

2

3

1

3

1

2

5

5

2

3

1

















n

n

                 Javob: uzoqlashuvchi 

10. 

...

3

3

4

...

3

3

9

3

2

5

3

1

3

2



















n

n

n

 

 

Javob: 

yaqinlashuvchi 

Koshining  integral  alomatidan  foydalanib,  quyidagi 

qatorlarning yaqinlashishini tekshiring. 

1. 

 

 

 

.

.

ln

1

.

.

.

3

ln

3

1

2

ln

2

1

2

2

2









n

n

          Javob: 

yaqinlashuvchi 

2. 

...

1

4

1

...

9

1

5

1

1













n

                Javob: uzoqlashuvchi 

3. 

...

3

2

...

3

3

2

2

3

2

1

3

2

2

2

2

2



















n

 

 

 

Javob: 

yaqinlashuvchi 

 

85

 

4. 

...

1

1

...

2

1

2

1

1

1

1

1

2

2

2

2

2

2

























































n

n

          Javob: 

yaqinlashuvchi 

5. 







2

2

ln

n

n

n

                                         Javob: yaqinlashuvchi 

6. 

.

.

.

.

.

.

3

2

1

3

2

1



















n

e

e

e

e

n

                Javob: 

yaqinlashuvchi 

Quyidagi qatorlarni yaqinlashishga tekshiring. 

1. 

...

1

...

3

1

2

1

1











n

                     Javob: uzoqlashuvchi 

2. 

...

1

...

3

1

2

1

1

2

2

2











n

                      Javob: yaqinlashuvchi 

3. 





...

1

...

4

3

3

2

2

1

3

3

3

3













n

n

               Javob: yaqinlashuvchi 

4. 













2

1

1

n

n

n

                                   Javob: uzoqlashuvchi 

5. 









1

1

2

n

n

n

                                       Javob: uzoqlashuvchi 

6. 









1

1

3

!

n

n

n

                                         Javob: uzoqlashuvchi 

7. 

 









1

3

1

2

n

n

n

                                       Javob: yaqinlashuvchi 

8. 









1

2

2

1

2

n

n

n

                                     Javob: uzoqlashuvchi 

9. 







1

3

n

n

e

n

                                          Javob: yaqinlashuvchi 

 

86

 

10. 























1

2

2

1

1

n

n

n

                                  Javob: yaqinlashuvchi 

11. 









0

1

4

1

n

n

                                    Javob: uzoqlashuvchi 

12. 









3

4

9

n

n

n

                                     Javob: yaqinlashuvchi 

13. 

















 

1

2

1

2

2

n

n

n

n

n

                               Javob: uzoqlashuvchi 

 

3-§. Ishoralari o’zgaruvchi qatorlar 

 

Quyidagi 

misollarda 

ishoralari 

o’zgaruvchi 

qatorlarning 

absolyut, 

shartli 

yaqinlashishi 

yoki 

uzoqlashishini tekshiring. 

1-misol. 





сон

 

ихтиёрий

3

sin

1













n

n

n

. 

Yechish.  Berilgan  qator  hadlarining  absolyut 

qiymatlaridan yangi qator tuzamiz 







1

3

sin

n

n

n



 

va  bu  qatorni 







1

3

1

n

n

  qator  bilan  taqqoslaymiz.  Ma’lumki 

n

n

n

3

1

3

sin





. 

Geometrik 

qator 























1

3

1

1

3

1

n

n

q

 

yaqinlashuvchi  bo’lgani  uchun,  musbat  hadli  qatorlarni 

 

87

 

solishtirish alomatiga ko’ra qator yaqinlashuvchi bo’ladi. 

Demak, berilgan qator absolyut yaqinlashuvchidir. 

2-misol. 







1

4

cos

n

n



. 

Yechish. Berilgan ishoralari o’zgaruvchi qator uchun 

qator  yaqinlashishining  zaruriy  sharti  bajarilmaydi. 

Haqiqatan,  

4

cos

lim

lim



n

a

n

n

n











 

limit mavjud emas. Demak, berilgan qator uzoqlashuvchi. 

3-misol. 

 













1

1

2

1

n

n

n

n

. 

Yechish.  Ishoralari  almashinuvchi  berilgan  qatorning 

hadlari  absolyut  qiymat  bo’yicha  monoton  kamayadi, 

ya’ni 

...

2

3

1

2

2

1

2

1

3

2











 

va 

0

2

1

lim









n

n

n

. 

Leybnis  teoremasiga  asosan  berilgan  qator  yaqinlashuvchi. 

Qatorning  absolyut  yoki  shartli  yaqinlashishini  tekshirish 

uchun  berilgan  qator  hadlarining  absolyut  qiymatlaridan 









1

2

1

n

n

n

  qator  tuzamiz.  Bu  qatorning  yaqinlashishini 

Dalamber alomatiga ko’ra tekshiramiz. 

 

88

 









1

2

1

2

2

lim

2

1

2

lim

2

1

2

1

1

lim

lim

1

1

1















































n

n

n

n

n

n

a

a

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

. 

Demak,  musbat  hadli  qator  yaqinlashuvchi.  Shuning 

uchun, berilgan qator absolyut yaqinlashuvchi bo’ladi. 

4-misol. 

 













1

1

1

2

1

n

n

n

. 

Yechish. Berilgan qator Leybnis teoremasi shartlarini 

qanoatlantiradi, ya’ni  

...

5

1

3

1

1







 

va 

0

1

2

1

lim









n

n

. 

Demak,  berilgan  qator  yaqinlashuvchi.  Berilgan 

qatorning  absolyut  yoki  shartli  yaqinlashishini  tekshiramiz. 

Buning  uchun  qator  hadlarining  absolyut  qiymatlaridan 

tuzilgan 









1

1

2

1

n

n

  qatorni  tekshiramiz.  Koshining  integral 

alomatidan foydalanamiz. 



















































1

2

ln

lim

2

1

1

2

ln

lim

2

1

1

2

1

2

lim

2

1

1

2

1

1

1

n

x

x

x

d

x

dx

n

n

n

n

n

  

bo’lgani  uchun  xosmas  integral  uzoqlashuvchi.  Demak, 

musbat  hadli 









1

1

2

1

n

n

  qator  uzoqlashuvchi.  U  holda 

berilgan qator shartli yaqinlashuvchi. 

 

89

 

 

Mustaqil yechish uchun mashqlar 

 

1. 

...

4

1

3

1

2

1

1









                     Javob: shartli yaqinlashuvchi 

2. 

...

4

ln

1

3

ln

1

2

ln

1







                 Javob: shartli yaqinlashuvchi 

3. 

 

...

1

1

...

3

1

2

1

1

1















n

n

 

 

 

Javob: 

shartli 

yaqinlashuvchi 

4. 

...

3

3

sin

2

2

sin

1

sin

2

2













                  Javob:  absolyut 

yaqinlashuvchi 

5. 



































...

10

7

7

5

4

3

3

2

 

 

...

1

3

1

2

1























n

n

n

n

                  Javob: absolyut yaqinlashuvchi 

6. 











1

10

ln

cos

n

n

n



                          Javob: absolyut yaqinlashuvchi 

7. 

 



















1

1

1

1

2

1

n

n

n

n

n

                  Javob: absolyut yaqinlashuvchi 

8. 

 











1

1

3

cos

1

n

n

n



                    Javob: uzoqlashuvchi 

9. 

 

















1

2

1

1

1

n

n

n

a

n

                      Javob: 













chi

uzoqlashuv

 

da

1

 

yaqinlash.

 

abs.

 

da

1

a

a

 

10. 

...

3

1

2

1

3

1

2

1

3

1

1

5

2

3













          Javob:  absolyut 

yaqinlashuvchi 

 

90