Ii qism. Qatorlar nazariyasidan mashqlar I bob. Sonli qatorlar 1-§. Sonli qatorlar

1-misol. 







1

3

2

n

n

n

n

x

.  

Yechish.  Bu yerda  

n

n

n

n

x

a

3

2



. Qatorning yaqinlashish 

radiusini quyidagi Koshi alomati yordamida topamiz. 

2

3

,

2

3

3

2

1

3

2

lim

1

lim

1



















R

a

R

n

n

n

n

n

n

n

. 

Demak,  yaqinlashish  intervali 















2

3

;

2

3

  bo’ladi. 

Intervalning chegaralarida qatorning yaqinlashishini alohida  

tekshiramiz. 

2

3





x

 bo’lsa 

 









1

1

n

n

 uzoqlashuvchi qator, 

2

3



x

  bo’lsa 

...

1

...

1

1

1

1

1



















n

n

  uzoqlashuvchi  qator 

hosil  bo’ladi.  Demak  berilgan  qatorning  yaqinlashish 

intervali 















2

3

;

2

3

 dan iborat. 

2-misol. 









1

2

n

n

n

n

x

.  

 

99

 

Yechish.   

n

  -  hadining  koeffitsienti 

n

n

n

a

2

1





. 

Qatorning  yaqinlashish  radiusini  topish  formulaga  asosan 

topamiz: 





2

2

2

lim

2

2

1

lim

lim

1

1

































n

n

n

n

a

a

R

n

n

n

n

n

n

n

, 

2



R

  va  yaqinlashish  intervali 





2

;

2



  bo’ladi.  Interval 

chegaralarida, ya’ni 

2





x

 va 

2



x

 nuqtalarda tekshiramiz. 

2





x

  bo’lganda 

 









1

1

n

n

n

  qator  hosil  bo’ladi  va  u 

Leybnis teoremasi shartlarini qanoatlantiradi. Demak, qator 

2





x

 nuqtada yaqinlashadi. 

2



x

 bo’lganda 







1

1

n

n

 uzoqlashuvchi garmonik qator 

hosil bo’ladi. Shunday qilib, berilgan darajali qator 





2

;

2



 

yarim oraliqda yaqinlashuvchi. 

3-misol.   















1

2

3

7

4

4

n

n

n

x

x

n

.  

Yechish.  Qatorning 

n

-hadi va 





1



n

- hadini yozamiz: 

 





 









1

2

3

1

1

2

3

7

4

1

4

;

7

4

4





















n

n

n

n

n

n

x

x

n

x

u

x

x

n

x

u

. 





















1

7

4

4

7

4

1

4

lim

4

7

4

7

4

1

4

lim

lim

2

2

3

3

2

3

1

2

3

1

1



















































x

x

x

x

n

n

x

x

n

x

x

n

u

u

n

n

n

n

n

n

n

n

n

 

 

Bu  tengsizlikni  yechib  yaqinlashish  oralig’ini 

topamiz. 

 

100

 



 













,

3

1

,

x

 

 

Endi  qatorni  chegaradagi  nuqtalarda  yaqinlashishini 

tekshiramiz. 

1



x

 da 







1

3

1

n

n

 

qator hosil bo’ladi. Bu garmonik qatorning umumlashgan 

3



p

 

bo’lgani uchun yaqinlashuvchidir 

3



x

 da 







1

3

1

n

n

 

hosil  bo’ladi.  Bu  qator  ham  yaqinlashuvchi.  Demak 

yaqinlashish oralig’i 



 











,

3

1

,

. 

 

Mustaqil yechish uchun mashqlar 

 

Quyidagi  qatorlarning  yaqinlashish  radiuslari  va 

yaqinlashish  intervallarini  toping.  Yaqinlashish  intervalining 

chegaralarida qatorning yaqinlashishini tekshiring. 

1. 







1

n

n

x

                         Javob: 





1

;

1

,

1





R

 

2.  













1

4

n

n

n

x

                   Javob: 

 

5

;

3

,

1



R

 

3. 









1

!

n

n

x

n

                      Javob:

0

,

0





x

R

 

4. 

 









1

2

2

n

n

n

x

                  Javob:















2

1

;

2

1

,

2

1

R

 

5. 













1

1

n

n

n

n

x

                    Javob:





1

;

1

,

1





R

 

 

101

 

6. 







1

n

n

n

x

                        Javob:





1

;

1

,

1





R

 

7. 

  

















1

2

1

4

2

1

n

n

n

n

n

x

          Javob:





4

;

0

,

2



R

 

8. 





















1

2

1

n

n

x

n

n

                 Javob:





2

;

2

,

2





R

 

9. 



 















1

1

2

5

5

!

1

n

n

x

n

n

          Javob:















;

,

R

 

10. 







1

10

n

n

n

n

x

                    Javob:





1

,

0

;

1

,

0

,

10

1





R

 

11. 















1

2

3

1

2

n

n

n

x

                  Javob:





0

;

1

,

1





R

 

12. 

 











1

1

3

n

n

n

n

x

                   Javob:





3

;

3

,

3





R

 

13. 

 









1

2

!

2

!

2

n

n

n

x

n

n

                  Javob:















;

,

R

 

14. 

















 

1

2

1

1

n

n

n

x

n

                Javob:















e

e

e

R

1

;

1

,

1

 

 

 

102

 

3-§. Teylor va Makloren qatorlari 

 

1-misol. 

 

4

sin

x

x

f





  funksiyani 

2



x

  nuqta  atrofida 

Teylor qatoriga yoying.  

Yechish.    Berilgan  funksiyaning  hosilalarini  va   

2



x

 

nuqtadagi qiymatlarini topamiz. 

 

 

,

1

4

2

sin

2

,

4

sin











f

x

x

f

 

 

,

2

4

sin

4

4

cos

4

'





























x

x

x

f

 

,

0

2

4

2

sin

2

'























f

 

 

,

2

2

4

sin

4

4

sin

4

'

'

2

2

2

2

































x

x

x

f

 

 

,

4

4

2

sin

4

2

'

'

2

2

2

2





























f

 

 

,

2

3

4

sin

4

4

cos

4

'

'

'

3

3

3

3

































x

x

x

f

 

 

,

0

2

3

4

2

sin

4

2

'

'

'

3

3

























f

 

 

,

2

4

4

sin

4

4

sin

4

4

4

4

4































x

x

x

f

IV

 

 

,

4

2

4

2

sin

4

2

4

4

4

4



























IV

f

 

.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 

 

 

,

2

2

4

sin

4

2

2

2

























k

x

x

f

k

k

k

 

 

103

 

 

 

 

 

 

,

4

1

4

2

sin

4

2

2

2

2

2

2

k

k

k

k

k

k

k

f





























 





 





,

2

1

2

4

sin

4

1

2

1

2

1

2

































k

x

x

f

k

k

k

 





 





.

0

2

1

2

4

2

sin

4

2

1

2

1

2

1

2

































k

f

k

k

k

 

Topilganlarni  Teylor  qatoriga  qo’ysak,  quyidagiga 

ega bo’lamiz 























...

!

4

2

4

!

2

2

4

1

4

sin

4

4

4

2

2

2

x

x

x







 

 





 

.

.

.

!

2

2

4

1

...

2

2

2











k

x

k

k

k

k



. 

Bu  darajali  qatorning  yaqinlashish  intervalini 

Dalamber alomati yordamida topamiz. 

 

 









 

































k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

x

k

k

x

x

u

x

u

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

!

2

4

!

2

2

2

4

lim

lim















1

0

2

2

1

2

1

lim

2

4

2

2

2

















k

k

x

k



 

bo’lgani  uchun 

x

  ning  barcha  qiymatlarida  yuqorida 

berilgan qator yaqinlashuvchi, ya’ni qatorning yaqinlashish 

intervali 











;

 dan iborat. Endi Teylor formulasidan  











































2

1

2

4

sin

!

1

2

2

4

1

2

1

2

1

2

1







k

k

x

R

k

k

k

k

 

qoldiq  hadni  tekshiramiz.  Har  qanday 

k

  va 



  uchun 





1

2

1

2

4

sin























k

 

0

4

lim

1

2





















k

k



  o’rinli.  Har  qanday 

chekli 

x

 uchun 

 

104