I bob. Uch karrali integ

II BOB. Uch karrali integrallarning tadbiqlari 3-§. Uch karrali integrallarning mexanikaga tadbiqlari.

Tabiyki, barcha geomitrik va mexanik kattaliklar fazodagi ₍V ₎ jismning massasiga bog’liqdir. Bunday holni uch karrali integral orqali ifodalaymiz [2,3].

p orqali ₍V ₎ jismning ixtiyoriy nuqtadagi zichligini belgilaylik: u nuqtaning koordinatalarini funksiyasi bo’ladi va bu funksiyani har doim uzluksiz deb faraz qilamiz. dm = pdV = pdxdydz massa elementlarini yig’ib chiqamiz va barcha massa kattaliklar
uchun
^{m = jjjpdV = jjjpdxdydz (3. 1)}
(^V ) (^V )
ega bo’lamiz.
Elementar statistik momentlar uchun ushbu
^dMyz ^{= xdm = xpdV,}
dM_zx = ydm = ypdV,
dM_xy = zdm = zpdV,
munosabatlar o’rinli bo’lishini topamiz. Statistik momentlarni topish formulasi
^{Myz = jjjxpdV = jjjxpdxdydz,}
(^V ) (^V )
^{Mzx = jjjypdV = jjjypdxdydz, (3.2)}
(^V ) (^V )
^{Mxy = jjjzpdV = jjjzpdxdydz,}
(^V ) (^V )
iborat bo’ladi.
Og’irlik markazining koordinatalari uchun

jjj^xpdV
(
= ,
^V )
m


jjj^ypdV jjj^zpdV
(
n= , 匕 =
^V ) (^V )
m m


(3.3)

formulalar o’rinli bo’ladi.
^{Bir jinsli jism uchun p= const bo’ladi va og’irlik markazining koordinatalari uchun
p}jjj^{xdV p}jjj^{ydV p}jjj^zdV
(
= , n= , 匕 = (3.4)
^V ) (^V ) (^V )
m m m
munosabatlar o’rinli bo’ladi.
Koordinata o’qlariga nisbatan inersiya momentlari uchun
^{Ix = jjj(y}2 ^{+ z}2 ^{)pdV, Iy = jjj(z}2 ^{+ x}2 ^)pdV,
(^V ) (^V )

^{Iz = jjj(x}2 ^{+ y}2 ^)pdV,
( ^V )
formulalar o’rinli bo’ladi.
Koordinata tekisliklariga nisbatan inersiya momentlari
^{Izy = jjjx}2^{pdV, Ixz = jjjy}2^{pdV, Ixy = jjjz}2^pdV
(^V ) (^V ) (^V )
formulalar bilan hisoblanadi.


(3.5)


(3.6)

A_(毛,n,_匕) nuqtada mahkamlangan ₍V ₎ jism massa bilan tuldirilgan bo’lsin. dm = pdV massa elementi tomoni nisbatan tortishish kuchi koordinata o’qlarida proeksiyaga ega bo’ladi.
x
_x ⁼ ₃ ^pdV, _y ⁼ ₃ ^pdV,
-毛 y -n
r r
z
_z ⁼ ₃ ^dV,
-匕
r
bu erda r = _(x -_毛)² + (y -_n)² + (z -_匕)^{2 A} nuqtadan (x, y, z) nuqtagacha masofa

elementi. Bundan to’liq F tortishish kuchini koordinata o’qlaridagi proeksiyasi uchun

^F
x ₍V ₎ ^r3 , y ₍V ₎ ^r3 ,
_z ⁼ _jjj ^{z -}_3r^{匕 pdV,
=} _jjj ^{x -毛pdV F =} _jjj ^{y -npdV}


( ^V )
ega bo’lamiz [2,4].
Xuddi shunday ₍V ₎ jismning nuqtadagi potensiali ham
^W
(^V)
⁼ _jjj

formula bilan hisoblanadi [3,4].

(3.7)
(3.8)

Agar A nuqta jismdan tashqarida bo’lsa, bu integrallarning barchasi xos integrallar bo’ladi.
Bu holda W integralni ixtiyoriy 毛,n,匕 o’zgaruvchilar bo’yicha integral ostida
differensiallash mumkin. Natijada
?F ?F ?F
_?
(3.9)
_毛 ^{= Fx ,} _?n ^{= Fy ,} _?匕 ^{= z ,}
hosil qilamiz.

Agar A nuqta ₍V ₎ jismga tegishli bo’lsa, bu nuqtada r = 0 va (3.7) va (3.8) dagi integral ostidagi funksiyalar chegaralanmagan bo’lib qoladi. Keyinroq bu integrallarni xosmas ekanligini va mavjudligini (3.9) munosabatning bajarilishini ko’rsatamiz.
Uch karrali integrallarning mexanikaga tadbiqlariga doir ba’zi bir misollar ko’rib chiqaylik.
1 – misol. p= 1 bo’lganda ikki o’lchovli holda bir jinsli silindrik brusning statistik
momenti uchun
^M_yz ⁼ _jj^{zxdxdy, M}_zx ⁼ _jj^zydxdy,
(^P) (^P)
^M_xy ⁼ _jj^z2^dxdy
(^P)
formulaga egamiz. Bularga (3.2) formulalarni qo’llab:
z(x ,y)
^Mxy ⁼ _jjj^{zdV =} _jj^dxdy _j ^zdz;
(V) (P) 0
bu erda
<sub>j
0 z=0

z(x ^,y) z=z(x ,y)

¹ 2</sub>
^{zdz =} ₂ ^{z .
2 – misol. x}2 ^{+ y}2 ^{= 2az paraboloid va x}2 ^{+ y}2 ^{+ z}2 ^{= 3a}2 ^{sferik sirtlar bilan}
chegaralangan jismning og’irlik markazini toping.
xy tekislikka nisbatan statistik momenti
b
^{M =} _j^xp(x)dx
a
formulada x ni z bilan almashtirib hisoblash mumkin. Ko’ndalang kesim R_(z) ning yuzi 2az ga teng. z² funksiya 0 dan a va ₍3a² z² ₎ funksiya uchun, yoki z o’zgaruvchi a dan a gacha o’zgaradi. Shunday qilib,
^M_xy ^{= 2 a}_j^{z2dz +} a_{j (}^{3a2 z2} ₎^{dz = a4 .}
0 a
Shuningdek jismning hajmi ma’lum: V = ₍6 5₎, [6] bo’lsa,

^p
_{匕 = (6 + 5)a.}
毛=n= 0 simmetrik jism bo’lgani uchun.
^{3 – misol. x}2 ^{+ y}2 ^{+ z}2 ^{三 2az sferaning massasini toping va og’irlik markazining}
o’rnini aniqlang.
Agar sferaning nuqtalari zichligi bu nuqtalar bilan koordinata boshigacha bo’lgan masofaga teskari proporsianal bo’lsa,
k
=

_{2
x + y + z
2 2} ^.


(3. 1) formulaga ko’ra massa


_{x
m = k jjj} ^dxdydz
2 _+y² _+z² _三2az ^{x2 + y2 + z2}
teng.
Bu uch karrali integralda (2.8^*) ga o’xshash almashtirish bajarib, uni ushbu
m
0 ₍R_{z )}
= k _jdz _jj ^dxdy
Sodda integral va ikki karrali integrallar orqali ifodalash mumkin. Bu erda ₍R_{z )}
radiusi 2az - z² ga teng bo’lgan aylana. Ichki integralni qutb koordinatalarga o’tib
_{j
0 0} r + z
2az_j-z2 _{= 2"( - z )}
tengligini topamiz.
⁴ ₂
Bundan esa m = ₃"Ra bo’lishini topamiz.
Statistik momenti esa (3.2) munosabatlardan foydalanib
^Mxy ^{= R}x2 +y 三2az ^{= "Ra}2
tengligini topamiz.
Og’irlik markazi esa, 毛= a ga teng, qolgan ikki koordinatasi 0 ga teng.
4 – misol. Ushbu silindrning asosidagi tortishish markazini toping. Rasmda ifodalanishiga ko’ra
z = ^j(jVj) = ^{x2 +jyj2共R2} dxdyh^j0 =
x₂ +^jy^j2共R₂ ^{p - dxdy =
= 2"p}₍^{R+ h -} ₎^{.
Qolgan ikkita tortishish kuchi nolga teng. Shuning}
uchun tortishish vertikal yuqoriga yo’nalgan.
^{5 – misol. Silindrning asosini markazidagi potensialini toping.}
(3.8) formuladan foydalanib topamiz. Buning uchun
W
_{0 x}² _+y² _共R² x² + y² + z²
= _jpdz _jj ^dxdy :
Ikki karrali integralni qutb koordinatalarga o’tib hisoblaymiz. Natijada
^{W = 2"p}_j( ^{- z} ₎^{dz = p"R2 ln + p"h}₍ ^{- h}₎
0
ega bo’lamiz.
Agar jismning inersiya momenti koordinata boshidan chiqib turli o’qlarga tarqalgan bo’lsa, har bir o’qda
₁
ON =

n
I
kesmalar ajratadi.
c
X = ON cosa= , Y = , Z =
osa cos b cosY

n n n
I I I
lar bu kesmaning oxiri N nuqtaning koordinatalari bo’lsin. U holda I_n ning qiymati ma’lumligiga ko’ra N nuqtaning geometrik o’rnini aniqlaydigan
I_xX² + I_y Y² + I_z Z² - 2K_yz YZ - 2K_zxZX - 2K_xyXY = 1
tenglamani hosil qilamiz [7,8].
Shuningdek ON kesmaning uzunligi cheksizlikka aylanmasa, bu ikkinchi tartibli sirt ellipsoid bo’ladi. U ellipsoid inersiya deyiladi. Qattiq jismlarning harakatini tekshirayotganimizda ellipsoid inersiyaning o’qlari asosiy rol uynaydi. Shuning uchun bu
o’qlar inersiyaning bosh o’qlari deyiladi. Agar O nuqta og’irlik markazi bo’lsa, mos inersiya o’qlari inersiyaning bosh markaziy o’qi deyiladi.
Koordinata o’qlarining inersiyani bosh o’qlari bo’lishiga markazdan qochuvchi
^{momentga bog’liq. Masalan, x o’qi inersiya bosh o’qi bo’lishi uchun
K}_xy ^{= 0, K}_zx ^{= 0}
shartning bajarilishi zarur va etarli.
Xususan, bu shartlar bajarilishi uchun massa yz tekisligiga semmitrik tarqalgan bo’lishi
kerak.
Qattiq jismni o’q atrofida aylanishida markazdan qochuvchi kuch haqida to’xtalib o’tamiz.
Agar ₍V ₎ jism z o’qi atrofida O burchak tezlik bilan aylangan bo’lsa, dm = pdV
elementli jismning markazdan qochuvchi kuchi
DF = O²rdm = O²rpdV
kattalik bilan hisoblanadi. Bu erda r aylanish o’qidan elementgacha bo’lgan masofa. Masofadan qochuvchi kuchning koordinata o’qlaridagi proeksiyasi
_x = O²xpdV, _y = O²ypdV, _z = 0

ga teng. F markazdan qochuvchi kuch ushbu integrallar orqali
^{Fx = O}2 ^{jjjxpdV = O}2^{Myz , Fy = O}2^{Mzx , Fz = 0}
( ^V )
hisoblanadi. Bu erda M_yz , M_zx _ jismning statistik momenti. Agar 毛,n, 匕 lar orqali
jismning og’irlik markazining koordinatalarini ifodalasak, bu formulalar
_x = O²毛m, F_y = O²nm, _z = 0
kurinishda yoziladi.
Markazdan qochuvchi elementar kuch orqali koordinata o’qlariga nisbatan
momentlarini
dM_x = _y = O²yzpdV,
dM_y = _x = O²zxpdV, dM_z = 0
ko’rinishda ifodalash mumkin [9,10].
Natijada bu o’qlarga nisbatan momentlar
^{Mx = OjjjyzpdV = O}2^{Kyz , My = Kzx , Mz = 0}
( ^V )

^.
integrallar orqali topiladi.
Markazdan qochuvchi kuch uzaro teng kuchli bo’lishi uchun yoki valga tashqi ta’sir ko’rsatmasligi uchun
^M_yz ^{= 0, M}_zx ^{= 0, K}_yz ^{= 0, K}_zx ^{= 0}
shartlar urinli bo’lishi zarur va etarli. Birinchi ikkitasi jismning og’irlik markazini z o’qida yotishini ifodalaydi, keyingi ikkitasi esa z o’qini inersiyasining bosh o’qi ekanligini ko’rsatadi.
Uch karrali integralning mexanikada tadbiqlarini ba’zi bir aniq misollar yordamida ko’rib chiqamiz [9,10].
6 – misol. Bir jinsli _(p= 1₎ ellipsoidning
_{+ + 共1 (a > b > c)}
a b c
potensialini toping.
Sferik koordinatalarni kiritamiz, bu holda x o’q sifatida qutb o’qni olamiz: x _ rcosQ, y = rsinQcos9, z = rsinQsin9.
U holda
1
_T
| | +| | +| |
_T ( cosQ)² ( sinQcos9)² ( sinQsin9)²
_W
x ² y² z^{2 x + y + z 0 0 0}
_{= jjj = 8 j sinQdQjd9} \ a ) \ b _j ) \ c ) _{rdr =}
2
a b c

+ + 共1
2 2
T T
^{= 4}2j0 ^sinQdQ2j0 ^.


cos² Q sin² Q cos² Q sin² Q
^{bu erda B =} ₂ ⁺ ₂ ^{, C =} ₂ ⁺ ₂ ^.
a b a c

I

_{T
2 a}
chki intagral ga teng. Keyin cosQ= t deb, birinchi tur elliptik


integralni hosil qilamiz:
a
2 2
- c

^{W =}


2pabc



^a
т
0


dt

t = sin 入 urniga qo’yish orqali Lejandr formasiga kelamiz:
2
a -c
2

=
W



2 abc
^a
2 2
^{- c}

a

₀ 1 - k₀ sin 入 a - c

j
_{= F (入0 , k0 ),}

bu erda 入₀ = arcsin , k₀ =

_a² _{- b}² _a² _{- c}^{2 .
a2 - c2}
a