O’zbekiston respublikasi oliy va o’rta maxsus ta’lim vazirligi termiz davlat universitetining pedagogika instituti magistratura bo`limi

A,B .’CCD „— q bo‘ladi. Bunda 3-xossaga asosan A„B C fl „ hosil bo‘ladi. AB va CD to‘g‘ri chiziq kesmalarining proyeksiyalovchi tekisliklarida AE A fiQ ,) va CF[C C@ ,) kesmalami o tkazamiz. U holda ABE va C'DF uchburchaklarning parallelligi va o’xshashligidan AB. AE-- CD.’OF yoki AB.-CD— AE. CF-—q kelib chiqadi. Demak. AB.’CD-—A ,. C @ —q bo‘1adi.

Parallel proyeksiyalashning yuqorida keltirilgan xossalaridan darslikning keyingi boblarida keng (oydalaniladi.

1.2-§. Nuqtaning ikki o`zaro perpendikulyar tekislikdagi proyeksiyalari.

To‘g‘ri burchakli proyeksiyalash ortogonal proyeksiyalash deb ham yuritiladi. Ortogonal proyeksiyalashdaproyeksiyalovchi nur yo‘nalishi ko‘rsatilmaydi. Masalan, proyeksiyalar tekisligi P va fazodagi biror A nuqta berilgan bo‘lsin . A nuqtani P tekislikda ortogonal proyeksiyalash uchun A

peyendikulyar tuslıirıladi. Bu perpendikulyarning P tekİslikdagı asosi A„ nuqta fazodagi A nuqtaning ortogonal proyeksiyasi bo‘ladi.

To‘g‘ri burchakli proyeksiyalaslıda geometrik shakl fazoda proyeksiyalar tekisligiga nisbatan ixtiyoriy holatda joylashgan bo‘lsa, uning proyeksiyasida shaklning metrik (uzunligi, burclıagi va boshqa) o‘lchamlari o‘zgaradi. Masalan, ortogonal proyeksiyalaslıda to‘g‘ri chiziq kesmasining proyeksiyasi o‘zidan kichik yoki teng bo‘ladi:

• 
  agar to‘g‘ri chiziq kesmasi proyeksiyalar tekisligiga parallel bo‘lsa, uning proyeksiyasining uzunligi kesmaning fazodagi uzunligiga teng bo‘ladi;
  
• 
  agar to‘g‘ri chiziq kesmasi proyeksiyalar tekisligiga parallel bo‘lnusa, uning proyeksiyasining uzun ligi o‘zidan kichik bo‘ladi, ya’ni A p‘AB bo‘lib, AB-A„B,J a bo‘ladi. Bunda a-AD^P.
  

Fazoda berilgan biror ABCD trapetsiya proyeksiyalar tekisligiga parallel bo‘lmasa, uning burchaklari va tomonlarining haqiqiy o'lchamlari saq- lanib qolmaydi. Lekin trapetsiyaning A ,C D proyeksiyasi orasidagi ayrim xususiyatlari o‘zgarmaydi. Masalan, trapetsiyaning bir-biriga parallel bo‘lgan AD va CD asoslarining A fl , va C proyeksiyalari ham o‘zaro parallel bo‘ladi. Geometrik shakllarning proyeksiyalanish jarayonida o‘zgarmagan xususiyatlari ularning invariant xossalari deb yuritiladi.

To‘g‘ri burchakli proyeksiyalaslıda geometrik shakl fazoda proyeksiyalar tekisligiga nisbatan ixtiyoriy holatda joylashgan bo‘lsa, uning proyeksiyasida shaklning metrik (uzunligi, burclıagi va boshqa) o‘lchamlari o‘zgaradi. Masalan, ortogonal proyeksiyalaslıda to‘g‘ri chiziq kesmasining proyeksiyasi o‘zidan kichik yoki teng bo‘ladi:

• 
  agar to‘g‘ri chiziq kesmasi proyeksiyalar tekisligiga parallel bo‘lsa, uning proyeksiyasininguzunligi kesmaning fazodagi uzunligiga teng bo‘ladi
  
• 
  agar to‘g‘ri chiziq kesmasi proyeksiyalar tekisligiga parallel bo‘lnusa, uning proyeksiyasining uzunligi o‘zidan kichik bo‘ladi, ya’nİ A p‘AB bo‘lib, AB-A„B, bo‘ladi. Bunda a-AD^P
  

Fazoda berilgan biror ABCD trapetsiya proyeksiyalar tekisligiga parallel bo‘lmasa, uning burchaklari va tomonlarining haqiqiy o'lchamlari saq- lanib qolmaydi. Lekin trapetsiyaning A ,C D proyeksiyasi orasidagi ayrim xususiyatlari o‘zgar1vaydi. Masalan, trapetsiyaning bir-biriga parallel bo‘lgan AD va CD asoslarining A fl , va C proyeksiyatari hani o‘zaro parallel bo‘ladi. Geometrik shakllaming proyeksiyalanish jarayonida o‘zgarnıagan xususiyatlari ularning invariant xossalari deb yuritiladi.

Ortogonal proyeksiyalashda biror shaklning barcha nuqtalaridan o‘tuvchi nurlar o‘zaro parallel bo‘ 1 ib, berilgan geoıııetrik shaklni proyeksiyalar tekisligiga proycksiyalaydi. Buyunıning hitîa ortogona! proyeksiyasi bilan





1.14-rıısm 1. 15-rasm.

uning fazodagi vaziyatini aniqlab bo‘lmaydi. Buning uchun biror ko‘shimcha shart kiritish zarur. Bunday qo‘shimcha shart sifatida buyumning birinchi proyeksiyalar tekisligiga peıpendikulyar bo‘lgan ikkinchi tekislikdagi tasvirini olish mumkin. Bu ikki proyeksiyalar tekisligidagi tasvirlar buyumning fazodagi vaziyatini aniqlaydi.

Ortogonal proyeksiyalash usuli texnik chizmalarni clıizishda, inshootlami loyihalashda ko‘p qo‘llaniladi. Bu usul tasviming yaqqolligini bermasa ham, grafik ishlarning aniq bajarilishini ta'minlaydi va buyumlaming tekislikdagi tasvirlari orqali ulaming o‘lchamlarini oson va qulay aniqlaydi.

Proyeksiyalar tekisliklarining o‘zaro perpendikulyar vaziyatda tanlab olinishi buyum tasviri o‘qilishini osonlashtiradi.

O‘zaro perpendikulyar bo‘lgan ikki tekislik bir-biri bilan kesishib, fazoni to'rt qismga — kvadrantlarga (choraklarga) bo‘ladi. Fazoda gorizontal vaziyatda joylashgan (2.1-rasm)/ftekislik gorizontal proyeksiyalar tekisligi, vertikal joylashgan V tekislik frontal proyeksiyalar tekisligi deb ataladi. H va K proyeksiyalar tekisliklari o‘zaro perpendikulyar bo‘lib, ularning kesishgan bir chizig‘i proyeksiyalar o'qi deyiladi. Bunda H va K tekisliklar proyeksiyalar tekisliklari sistemasini hosil qiladi.

Proyeksiyalar tekisliklari sistemasining bunday fazoviy modelida turli geometrik shakllar, shuningdek, detallar, mashina va inshootlami joylashtirib, so‘ngra ularning chizmalarini yasash katta noqulayliklar tug‘diradi va zaruriyati ham bo‘lmaydi.

Buyuınlarning chizmalarini bajarishda bu tekisliklarning bir tekislikka joylashtirilgan (jipslashtirilgan) tekis tasvirlaridan foydalaniladi. Shu maqsadda K proyeksiyalar tekisligi qo‘zg‘almasdan, H gorizontal proyeksiyalar tekisligini o'z proyeksiyalar o‘qi atrofida pastga 90° ga aylantirib, Y tekislik bilan ustma-ust tushirib jipslashtiradi. Natijada E va K tekisliklarda bajarilgan barcha yasashlar asosiy chizma tekisligi sifatida qabul qilingan P frontal proyeksiyalar tekisligiga joylashtiriladi. Bunda nuqta yoki geometrik shaklning bitta tekislikdajoylashtirilgan ikki - gorizontal va frontal tasvirlari tekis chizma yoki kompleks chizma — epyur hosil qiladi. Bu usulni birinchi marta fransuz olimi Gospar Monj (1746—1818) tavsiya etgan. Shuning uchun bu tekis chizma Monj chizmasi deb ham yuritiladi.

Amalda geometrik shakllaming to‘g‘ri burchakli proyeksiyalarini yasashda asosan proyeksiyalar o‘qlaridan foydalaniladi. Shuning uchun chizmada proyeksiyalar tekisliklarining konturini tasvirlash shart emas (2.3-rasm).

Ma'lumki, barcha buyumlar nuqtalar to‘plamidan tashkil topgan. Shuning uchun proyeksiyalashni nuqtadan boshlash maqsadga muvofiq bo‘ladi. Biror nuqta yoki geometrik shakl fazoning turli choraklarida joylashishi mumkin. Birinchi chorakda joylashgan nuqtaning chizmasi. Fazodagi A nuqta chorakda joylashgan bo‘lsin. Uning E va K tekisliklardagi proyeksiyalarini yasash uchun bu nuqtadan mazkur tekis lik larga

2. I-r‹ısm.

2.2-rasm.

2.3-rasm.

perpendikulyarlar o‘tkazamiz va ularning bu tekisliklar bilan kesishish nuqtalarini aniqlaymiz. Faraz qilaylik, A nuqtadan N tekislikda tushirilgan perpendikulyaming asosi A’ bo‘lsin. A nuqtadan K tekisl ikka tmhirilgan perpendikulyarning asosi A” ni aniq lash uchun A’ dan Oz o qiga perpendikulyar o‘tkazamiz va A nuqtani aniqlaymiz. Ktekislikka tushirilgan perpendikulyarlar bilan Dz o‘qidagi A nuqtadan o‘tkazilgan perpendikulyami kesishtirib, A" nuqtani topamiz.

A nuqtadan H va K tekisliklarga o‘tkazilgan perpendikulyarlarning A’ va A” asoslari A nuqtaning to'g'ri burchakli proyeksiyalari deb yuritiladi. Bu yerda, A'- A nuqtaning gorizontal proyeksiyasi, A“ - uning frontal proyeksiyasi deb ataladi va AMA', A” ko‘rinishda yoziladi. Shakldagi chiziqlar proyeksiyalovchi nurlar yoki proyeksiyalovchi chiziqlar deyiladi.

A nuqtaning chizmasini tuzish uchun tekisliklarning fazoviy modelini yuqorida qayd qilingan qoidaga muvofiq U tekislikka jipslashtiramiz.Bunda A nuqtaning A” frontal proyeksiyasi K tekislikda bo‘lgani uchun uning vaziyati o‘zgarmay qoladi. Gorizontal A' proyeksiyasi f tekislik bilan lx o‘qi atrofida pastga 90° ga buriladi va K tekislik davomida jipslashadi. Natijada A nuqtaning A’ gorizontal hamda A“ frontal proyeksiyalari 0s o‘qiga