Множества N,Z,Q,R

Бесконечно большая функция.

Функция g(x) называется бесконечно большой при x→a, если lim_x→ag(x)=∞ (аналогично при x→∞).

44. 
    Связь между бесконечно большой и бесконечно малой функциями.
    

Связь между бесконечно малой и бесконечно большой функцией для функций, не принимающих значение 0, очень простая: такая функция f(x) является бесконечно малой в точке а тогда и только тогда, когда ф-ция 1/f(x) является бесконечно большой в точке а.

45. 
    Сравнение бесконечно малых функций. Символ «о» малое.
    

Пусть α(х) и β(х)— две функции, бесконечно малые в точке х=а. Если , то говорят, что α(х) более высокого порядка малости, чем β(х) и обозначают α (х) = о(β(х)). Если же , то β(х) более высокого порядка малости, чем β(х); обозначают β(х)=о(α (х)) . Бесконечно малые функции α(х) и β(х) называются бесконечно малыми одного порядка малости, если , обозначают α(х) = о(β(х)). И, наконец, если не существует, то бесконечно малые функции α(х) и β(х) несравнимы.

46. 
    Эквивалентные бесконечно малые.
    

Бесконечно малые в точке а функции α(х) и β(х) называются эквивалентными в точке а, если lim_x→aα(x)/β(х)=1.
Обозначение для эквивалентныхбесконечных малых функций: α(х) ~ β(х).
Таким образом, первый замечательный предел означает, что функции sinx эквивалентна х в точке 0, sinx~x в точке 0.
Буквальный русский перевод слова «эквивалентность – это «равночильность».

47. 
    Теорема о замене бесконечно малых эквивалентными.
    

Если функция f(x) эквивалентна функции f₁(x), а функция g(x) эквивалентна g₁(x) в точке а, то lim_x→af(x)/g(x)= lim_x→a f₁(x)/g₁(x).

48.