История появления натуральных чисел и нуля. Теоретико-множественное определение натурального числа и нуля. Теоретико-множественное определение сложения и разности целых неотрицательных чисел. Свойства сложения

Примеры доказательств уравнений и неравенств методом математической индукции.

Вернемся к предыдущему примеру и докажем формулу .
Доказательство.
Метод математической индукции предполагает доказательство в три пункта.
Поехали!

1. 
   Проверим равенство для n = 1. Имеем . Это равенство верное.
   
2. 
   Предположим, что  есть справедливая формула.
   
3. 
   Докажем, что  отталкиваясь от справедливого равенства из второго пункта.
   

Сумма k+1 первых членов последовательности представляется как сумма первых k членов исходной числовой последовательности и k+1 ого члена:

Так как  из второго пункта, то

Осталось привести дроби к общему знаменателю, привести подобные слагаемые, воспользоваться формулой сокращенного умножения квадрат суммы и произвести сокращение:

Следовательно, доказано равенство третьего пункта.
Таким образом, выполнены все три шага метода математической индукции и тем самым доказано наше предположение о формуле .
Давайте рассмотрим тригонометрическую задачу.
Пример.
Докажите тождество .
Решение.
Во-первых, проверяем справедливость равенства при n = 1. Для этого нам понадобятся основные формулы тригонометрии.

То есть, равенство верно для n = 1.
Во-вторых, предположим, что равенство верно для n = k, то есть справедливо тождество

В-третьих, переходим к доказательству равенства  для n = k+1, основываясь на втором пункте.

Так как по формуле из тригонометрии
 
то

Доказательство равенства из третьего пункта завершено, следовательно, исходное тождество доказано методом математической индукции.
Формула бинома Ньютона может быть доказана методом математической индукции.
Пример доказательства неравенства методом математической индукции можете посмотреть в разделе метод наименьших квадратов при выводе формул для нахождения коэффициентов аппроксимации.