11. Kvadratik formalar

Mashqni bajaring:

kvadratik formani kanonik ko`rinishga keltiruvchi xosmas almashtirishni toping.

Agar kvadratik formaning kanonik ko`rinishida bo`lsa, u holda bu formani kvadratik formaning normal ko`rinishi deyiladi.

Agar haqiqiy kvadratik forma qaralayogan bo`lsa, uni normal ko`rinishga keltirish masalasi anchagina murakkab masalalardan biri hisoblanadi. Chunki, bunda manfiy sondan kvadrat ildiz chiqarish talab qilinishi mumkin.

Teorema. Berilgan haqiqiy koeffitsientli kvadratik formaning haqiqiy xosmas chiziqli almashtirish yordamida hosil qilingan normal ko`rinishdagi musbat kvadratlar soni va manfiy kvadratlar soni bu almashtirishning tanlab olinishiga bo`g`liq emas.

Berilgan kvadratik formaning keltirilgan kanonik ko`rinishidagi musbat ishorali kvadratlar soni bu forma inersiyasining musbat indeksi deb, manfiy ishorali kvadratlar soni esa inersiyaning manfiy indeksi deb, musbat va manfiy indekslar ayirmasi esa kvadratik formaning signaturasi deb ataladi.

Bu tushunchalardan foydalanib quyidagi teoremani keltirish mumkin.

Teorema. ta noma`lumning haqiqiy koeffitsientli ikkita kvadratik formasi bir xil ranga va bir xil signaturaga ega bo`lgandagina va faqat shundagina, ular xosmas chiziqli almashtirish orqali bir-biriga o`tkaziladi. Teorema. Agarda (4) kvadratik formada o`zgaruvchining kvadrati ishtirok etmasa, u holda chiziqli almashtirish yordamida uni hech bo`lmaganda bitta o`zgaruvchining kvadrati qatnashgan kvadratik formaga keltirish mumkin.

Kvadratik formalarni o`rganishda ularning kanonik ko`rinishlarini klassifikatsiyaga ajratib o`rganish kerak bo`ladi.

Biz quyida ularning bir necha turlarini keltirib o`tamiz.

3-ta`rif. Agar ta noma`lumning haqiqiy koeffitsientli kvadratik formasi ta musbat kvadratdan iborat normal ko`rinishga keltirilsa, u holda bu forma musbat aniqlangan deyiladi. 4-ta`rif. Agar ta noma`lumning haqiqiy koeffitsientli kvadratik formasi ta manfiy kvadratdan iborat normal ko`rinishga keltirilsa, u holda bu forma manfiy aniqlangan deyiladi. 5-ta`rif. Agar haqiqiy koeffitsientli kvadratik formaning normal ko`rinishi ham musbat, ham manfiy kvadratlardan iborat bo`lsa, u holda bu forma ishorasi aniqlanmagan forma deyiladi. 6-ta`rif. Agar haqiqiy koeffitsientli xos kvadratik formalarning normal ko`rinishi bir xil ishorali kvadratlardan iborat bo`lsa, u holda bu forma ishorasi yarim aniqlangan formalar deyiladi.

Masalan,

1. 
    kvadratik forma musbat aniqlangan;
   
2. 
    kvadratik forma manfiy aniqlangan;
   
3. 
   kvadratik formaning ishorasi aniqlanmagan;
   
4. 
   kvadratik formaning ishorasi yarim aniqlangan.
   

Amaliyotda va iqtisodiyotda eng ko`p uchraydigan kvadratik formalar ishorasi aniqlangan kvadratik formalar bo`lganligi sababli biz asosiy e`tiborni ishorasi aniqlangan kvadratik formalarga beramiz.

Koeffitsientlar bo`yicha formaning musbat aniqlangan ekanligini bilish uchun quyidagi tushunchalarni kiritamiz.

ta noma`lumning matritsasi bo`lgan kvadratik forma berilgan bo`lsin. Bu matritsaning yuqori chap burchagiga joylashgan tartibli minorlari, ya`ni

minorlari kvadratik formaning ( matritsaning) bosh minorlari deyiladi.