Федеральное агенство по образованию


Замечание. Уравнение Лапласа часто записывается в ком­пакт­­ной форме или , где – так называемый оператор Лапласа



Download 1,66 Mb.
bet15/33
Sana23.02.2022
Hajmi1,66 Mb.
#172352
TuriУчебное пособие
1   ...   11   12   13   14   15   16   17   18   ...   33
Bog'liq
Ряды Фурье

Замечание. Уравнение Лапласа часто записывается в ком­пакт­­ной форме
или ,
где – так называемый оператор Лапласа, имеющий различ­ный вид в зависимости от системы координат. Соответственно раз­лич­ным образом запишется и уравнение Лапласа. Так, в декартовой ортогональной системе координат x, y, z оператор Лапласа имеет вид
.
В частности, для двумерного случая
.
В цилиндрических координатах r, φ, z (r – полярный радиус-вектор точки, φ – полярный угол):
.
В сферических координатах r, θ, φ (r – радиус-вектор точки, а θ и φ – соответственно углы долготы и широты)
.
Для определëнности примем в дальнейшем, что
. (2.83)
Метод Фурье разделения переменных применим и к реше­нию уравнения Лапласа для таких простых областей, как прямо­угольник, круг и т.п. Как и для уравнений гиперболического и параболичес­кого типов, частные решения отыскиваются в виде
. (2.84)
Подставляя решение (2.84) в уравнение (2.80), получим условие разделения переменных в виде
, (2.85)
где – постоянная разделения.
Из (2.85) следуют два независимых обыкновенных линейных однородных дифференциальных уравнения второго порядка
, (2.86)
. (2.87)
Подставляя (2.84) в граничные условия (2.81), получим
. (2.88)
В результате, для определения функции X(x) приходим, как и выше, к той же самой задаче на собственные значения (2.9–2.10), что и для волнового уравнения и для уравнения теп­лопро­водности. Собственные значения этой задачи определяются по фор­муле, аналогичной формуле (2.14), а соответствующие этим значениям собственные функции равны согласно (2.15)
. (2.89)
Для функции же Y(y) из (2.87) c учетом (2.14) получаем линейное однородное уравнение
. (2.90)
Характеристическое уравнение, соответствующее дифферен­циаль­ному уравнению (2.90)
,
имеет действительные и различные корни. Поэтому частные решения уравнения (2.90) будут
.
Удобнее в расчетах использовать их линейные комбинации – гиперболические функции
.
В соответствии с принципом суперпозиции решений для линейных однородных уравнений эти функции также будут частными решениями уравнения (2.90). Поэтому общее решение уравнения (2.90) может быть записано в виде
. (2.91)
Подставляя теперь (2.89) и (2.91) в (2.84) и суммируя частные решения, получим решение уравнения (2.80), удовлетворяющее однородным граничным условиям (2.81)
. (2.92)
Постоянные αn и βn находим из граничных условий (2.82) на горизонтальных сторонах области. При y =0 и y = b из (2.92) следует
, (2.93)
, (2.94)
где
.
Из (2.93), (2.94) следует, что и можно рассматривать как коэффициенты Фурье соответственно для функций U0(x) и U1(x) при разложении их в ряды Фурье по синусам на промежутке [0, a]. Следовательно,
, (2.95)
. (2.96)
Из (2.96) найдем
. (2.97)
В частном случае, при

(см.2.83) получим
, (2.98)
. (2.99)
Подставляя далее формулы (2.96) и (2.97) в равенство (2.92), после элементарных тригонометрических преобразований получим решение краевой задачи (2.80–2.82) в виде
. (2.100)
В частном случае, когда αn и βn определяются согласно (2.98) и (2.99), приходим к решению
. (2.101)

Download 1,66 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   ...   11   12   13   14   15   16   17   18   ...   33




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling

kiriting | ro'yxatdan o'tish
    Bosh sahifa
юртда тантана
Боғда битган
Бугун юртда
Эшитганлар жилманглар
Эшитмадим деманглар
битган бодомлар
Yangiariq tumani
qitish marakazi
Raqamli texnologiyalar
ilishida muhokamadan
tasdiqqa tavsiya
tavsiya etilgan
iqtisodiyot kafedrasi
steiermarkischen landesregierung
asarlaringizni yuboring
o'zingizning asarlaringizni
Iltimos faqat
faqat o'zingizning
steierm rkischen
landesregierung fachabteilung
rkischen landesregierung
hamshira loyihasi
loyihasi mavsum
faolyatining oqibatlari
asosiy adabiyotlar
fakulteti ahborot
ahborot havfsizligi
havfsizligi kafedrasi
fanidan bo’yicha
fakulteti iqtisodiyot
boshqaruv fakulteti
chiqarishda boshqaruv
ishlab chiqarishda
iqtisodiyot fakultet
multiservis tarmoqlari
fanidan asosiy
Uzbek fanidan
mavzulari potok
asosidagi multiservis
'aliyyil a'ziym
billahil 'aliyyil
illaa billahil
quvvata illaa
falah' deganida
Kompyuter savodxonligi
bo’yicha mustaqil
'alal falah'
Hayya 'alal
'alas soloh
Hayya 'alas
mavsum boyicha


yuklab olish